慶應義塾志木高等学校 入試対策
2023年度「慶應義塾志木高等学校の数学」
攻略のための学習方法
難関校の数学の入試問題において、如何にしたら合格点を取れるのかについて考えてみたい。そもそも、なぜ「数学」を学習しなければならないのか。数学が大嫌いで「世の中から数学がなくなればよい」と心底思っている受験生もいるのではないか。そのような受験生は、方程式の応用問題や、放物線などの関数に関する問題が解けたからといって「自分の生活の一体何が変わるのか」と素朴な疑問を抱いているかもしれない。社会人になって世の中には数学のように、スッキリ答えの求められない問題もあるということを初めて自覚する場合もあるだろう。むしろ、そのような問題のほうが多いかもしれない。また、答えが複数ある場合もあるだろう。
そのような状況の中で、改めて考えてみたい。なぜ「数学」を学習しなければならないのか。それに対する明確な答えは一つではない。ただ、一つだけ理解しておいてほしいのは、数学の醍醐味は「物事を論理的に考え結論を導くことの楽しさ」であり「論理的な思考の道筋を整えること」である。
そのような数学の醍醐味を習得するために、「何をどのように」行えばよいのか。具体的は「自分の頭で考え抜く」ということだ。数学の問題を解いている過程で、考えに行き詰まるとどうしても「解答・解説」を見てしまいたい誘惑に負けてしまうだろう。そのような誘惑をグッと堪えて、たとえ正解でなくとも「自分の答え」を導くことである。その際に、安易に公式等を利用するのではなく（もちろん、数学的思考基盤がしっかりした後は公式も活用し解答時間の短縮を図ることも可）、与えられた条件の中で「何が言えて」「何が言えないのか」を明確にしたうえで、式を考え論理的に思考を巡らして結論に至るという作業が大切である。そのような作業こそが「公式」を導くプロセスなのであり、そのようなプロセスを習得することで、根本的な「数学的思考力」が身につくのだ。そのような「思考力」を体得することで、多少目先を変えられたり解法の切り口に変化が与えられても自在に対応が可能になる。
いずれにしても重要なことは、柔軟な発想力と論理的な思考力を培うことだ。そのためにも、標準以上の問題に対しじっくり考え、安易に妥協せずに最後まで問題を自分の頭で考えぬくことだ。そのような作業の繰り返しの中で、真の数学力が養成され磨き抜かれて行くことを忘れないでもらいたい。
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2023年度「慶應義塾志木高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜6分＞
平面図形(角度)、数の性質(平方根)、数の計算(無理数)に関する問題である。
大問２は、コインを用いた確率の問題＜5分＞
内容としては頻出問題である。
大問３は、平面図形(三角形)に関する問題＜7分＞
三平方の定理、相似などの概念を応用する。
大問４は、台形に関する証明問題＜7分＞
平面図形の基本定理を的確に証明の中で使用する。
大問５は、2次方程式に関する文章題の問題＜7分＞
食塩水の濃度に関する方程式の問題である。
大問６は、空間図形(球と円柱)に関する問題＜14分＞
特定の面に関して平面図形の原理をあてはめる。
大問７は、1次関数と2次関数の融合問題＜14分＞
ジャンルとしては頻出である。事前に様々な出題パターンを演習しておくこと。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：6分
（１）＜1分＞平面図形の角度を求める問題。
円の内部になる七角形の外角2個分の合計と求めたい角度の和が何度になるかが分かる。
（２）＜2分＞数の性質に関する問題。
のなかが平方数になるように、初めに2023を素因数分解する。
（３）＜3分＞数の計算に関する問題。
を初めに有理化する。
【大問２】コインを利用した確率に関する問題
- 時間配分：5分
1枚のコインを6回投げた場合の条件を満足する確率を求める問題である。
（１）＜1分＞表が1回以上出る確率を求める。
確率１より6回すべてが裏である確率を引いて求める。
（２）＜4分＞表が連続して3回以上出る確率を求める問題。
コインは6回投げるので、題意のコインの出方は2度以上繰り返されることはない。個別に場合を分類し、場合の数の合計を初めに求める。
【大問３】平面図形(三角形)に関する問題
- 時間配分：7分
（１）＜3分＞辺の長さを求める問題。
△ＡＢＨ、△ＡＨＣで三平方の定理を用いてＡＨが等しいことを利用してＢＨの長さを求める。
（２）＜4分＞辺の長さを求める問題である。
△ＡＢＨ∽△ＡＤＣを利用して、ＡＢ：ＡＤ＝ＡＨ：ＡＣである。
【大問４】台形に関する証明問題
- 時間配分：7分
条件より△ＡＢＣ≡△ＤＣＢである。ＢＤ平行となる補助線を引き同位角が等しくなることを活用する。また、平行四辺形の性質(対辺が等しい)も利用する。
【大問５】2次方程式の文章題(食塩水の濃度)に関する問題
- 時間配分：7分
Aの5％・100g、Bの4％・100gに含まれる食塩の量を出しておく。次に、Aからｘｇ、Ｂから2ｘｇを取り出してＣに入れるので、Ｃにはｘ＋2ｘ＝3ｘの食塩水が入っている。このときに残っているＡ、Ｂの中の食塩水をｘを用いて表す。この後、Ａ、Ｂも水をそれぞれに水をｘｇ、2ｘｇを入れるのである。これらの関係をビーカー図を描いて全体像を正確に把握することが重要である。
【大問６】空間図形(球と円柱)に関する問題
- 時間配分：14分
（１）＜3分＞辺の長さを求める問題。
ＡからＣＣ’に垂線ＡＨを引いて、△ＡＣＨにおいて三平方の定理を適用する。
（２）＜5分＞面積を求める問題。
ＢからＣＣ’に垂線を引くと、球Ａと球Ｂの半径が等しいことよりこの垂線はＣＣ’とＨで交わっていることが分かる。△Ａ’Ｂ’Ｃ’は二等辺三角形であるので、Ｃ’からＡ’Ｂ’に垂線Ｃ’Ｉを引いて△Ａ’Ｃ’Ｉに三平方の定理をあてはめる。
（３）＜6分＞容器の底面の半径を求める問題。
円柱を真上から見た平面図を考える。このとき、内部の3つの球を接するように描いてはいけない。3つの球を上から見ると接するのではなく、それぞれの2つの球が2点で交わっている図になることに注意しよう。
【大問７】関数（1次関数と2次関数）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）＜4分＞交点の座標を求める問題。
Ａ，Ｂは
の交点であるので、放物線と直線の式を連立して解けば基本的にはｘの2次方程式の解が求められＡ、Ｂの座標が求められるが、この解法は大変手間がかかりミスをしやすくなる。本問の他の条件である△ＡＯＮ：△ＢＯＮ＝4：1であることを活用する。
（２）＜5分＞座標を求める問題。
初めに補助線を引く。ＡＢとｘ軸の交点をＤとして、Ａから垂線ＡＥを引く。△ＡＤＥは三辺比が
の直角三角形となる。△ＡＢＣが正三角形になるので∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝60°となり、ＢＣ∥ｘ軸となっている。これらのことを活用する。
（３）＜5分＞座標を求める問題。
△ＡＢＣが正三角形であり、∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＢ＝60°である。よって、∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＢとなる。このことよりＡ、Ｂ、Ｃ、Ｐは同一円周上にあることが判明し、ＰはＡ、Ｂ、Ｃを通る円とｘ軸の交点である。また、図形の対称性などをあてはめて考え方を組み立てる。
攻略のポイント
全体的には、難問の類の設問はない。一度は演習したことのある問題ばかりである。難関校用の受験数学問題集を丹念に仕上げた受験生にとっては７５％の得点は可能であろう。標準問題であるゆえに、少しのミスも命取りになってしまう。単純な計算ミスや「勘違い」をなくすような日頃の学習態度が重要である。特に、計算問題（式の値、方程式、平方根）、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（円に関する定理、三平方の定理）、空間図形（平面図形の定理の応用）などの分野は、徹底的に演習しておいてほしい。また、新傾向として、数の性質と確率の融合問題、統計などは今後も出題される可能性は極めて高いのでしっかり押さえておこう。