早稲田大学高等学院 入試対策
2023年度「早稲田大学高等学院の数学」
攻略のための学習方法
難関校攻略のための最重要事項は、問題演習において「最後まで自分の頭で考える」という姿勢である。自分の頭で考えるということは、安易に解答・解説に頼らないということでもある。問題を見て考えて解法への道筋が見えてこないと、すぐに解答・解説を読んでしまうことはないであろうか。この文章を読んでいる受験生の中にも、そのような経験をしたことがあるのではないだろうか。最後まで自分の頭で考え、たとえ正しくなくとも（ある時期まではその方がむしろ好ましいが）自分なりの答えを導くことである。そのようなプロセスを経て得られるものは、最後まで粘り強く問題を解きぬく「持続力」であり、正解を導く上での「的確な発想力」である。頑張っているのだが、なかなか難関校の数学の入試問題に全く手が出ない、という悩みを耳にする場合が多い。そのような受験生に多く見られる傾向としては、上記に述べたような安易に解答に依存してしまって、すぐに模範解答を見てしまうということである。さらに、模範解答を目で見て頭で納得して、決して鉛筆をもって紙に解法を書こうとしない。そのような学習姿勢を繰り返していても、難関校の数学対策には有効ではない。
それでは、以下に難関校の入試数学の受験勉強における重要項目について考えてみよう。
①数学には「定石」がある
定石とは問題の解答を得るために必ず辿るべき「プロセス」である。つまり、そのプロセスさえ過たず正確に辿れば、必ず正解に辿り着けるということである。それでは、どのようにしたら正解を得るための「定石」を習得することができるのであろうか。ポイントは２つある。１つは、標準問題を何度も反復して演習をすることである。そして、回数を重ねるごとに、解答時間を縮めて瞬発的に問題を解く鍛錬を積むことである。その結果、初見の問題を見た瞬間に「解法のプロセス」が見えてくるのであり、どの方向へ第一歩を踏み出せば良いのかについて正確な判断ができるようになるのである。この「定石」を習得するための作業が、上位校の数学の入試問題を解く上では基礎力となる。その上に高度な問題演習における「正しい見通し」を立てられる「力」が付くのである。
②導き出すべき「答え」から逆算する
設問で求められる状況があった場合、その状況が言える（成立する）ためには「何が言えなければならないのか」ということを考えるのである。例えば、四角形が円に内接していることを証明したい場合には、それを証明するために何を言えばよいのかを考えることである。そして、そのためには与えられた諸条件より何が言えるのかを考えるのである。つまり、与えられた四角形の∠ＡＢＣ＝９０°であった場合、辺ＡＣは四角形が内接する円の直径になっているということに気づき、発想を膨らませることができるか否かが勝負を分ける。つまり、ゴールから逆算してゆくとそれはスタートに辿り着けるのである。そのような手法をぜひ身に付けて欲しい。
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2023年度「早稲田大学高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜9分＞。
数の計算(自然数)、平面図形(面積比)に関する問題である。
【大問２】空間図形（十面体）に関する問題＜14分＞。
二立体の切断面やその面積・周の長さに関する問題である。
【大問３】関数（1次関数と2次関数）に関する問題＜13分＞。
比例定数、ｘ座標、座標平面上にできる図形の面積に関する問題である。
【大問４】約束記号に関する新傾向問題＜14分＞。
正の数aに対して、aの小数第１位を四捨五入して得られる整数を＜a＞と表す約束記号に関する問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：9分
（１）数の計算に関する問題＜5分＞。
①Ｎ＝３n２＋72ｎ＋260のときに、Ｎ＝３(ｎ＋Ａ)２－ＢのＡ、Ｂにあてはまる整数を求める問題である。右辺を展開しnが自然数であることを活用する。
②前問①の結果を活用することと、nが自然数でＮと2023の差が最小となる数学的意味を考える。
（２）平面図形(面積比)に関する問題＜4分＞。
△ＰＢＱ＝△ＳＤＲであることより、ＰＱ＝ＳＲでありＰＳ＝ＱＲなので四角形ＰＱＲＳは平行四辺形となるので、ＰＱ∥ＳＲとなる。△ＡＢＤは１：２：√3 の直角三角形であり、△ＰＢＩ・△ＳＤＪは共に二等辺三角形となる。
【大問２】空間図形（十面体）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）多面体の表面積を求める問題＜3分＞。
ＡＢＣＤ、ＥＦＧＨはともに1辺＝1㎝の正方形であり、側面は8個の正三角形である。Eから垂線ＥＩをＡＢに引くと、△ＡＥＩは１：２：√3 の直角三角形になる。
（２）断面の面積を求める問題＜3分＞。
ＡＢＣＤ∥ＥＦＧＨであり、これらの面はＬ、Ｍ、Ｎを通る平面と平行になる。△ＡＢＥにおいて中点連結定理をあてはめる。また、Ｌ、Ｍ、Ｎを通る平面も正八角形となることから問題にアプローチしよう。
（３）辺の長さを求める問題＜4分＞。
△ＡＢＥは正三角形である。ＡＥＧＤは1辺の長さが１の正方形であり、△ＥＧＨは直角二等辺三角形であるので、ＥＧ＝√2 となる。
（４）ｈ2の値を求める問題＜4分＞。
ＢからＥＦＧＨへ垂線ＢＪを引く。ＢＪの長さがＡＢＣＤとＥＦＧＨを含む平面との距離となっているので、ＢＪ＝ｈとなる。ＥＦの中点をＥ’とすると△ＢＥ’Ｊに三平方の定理をあてはめよう。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：13分
（１）比例定数を求める問題＜2分＞。
y＝x2上にAが存在しそのｘ座標が－1であるのでＡ(－1、1)となる。よって、ｙ＝aｘ＋２aがAを通ることよりaを求めることができる。
（２）辺の長さの比を求める問題＜3分＞。
Ａ、Ｂからx軸に垂線ＡＨ、ＢＩを引く。ＡＨ∥ＢＩであるので、ＥＡ：ＥＢ＝ＥＨ：ＥＩとなる。Ｂは、y＝x2とｙ＝ｘ＋２の交点であることより連立方程式を解きＢのｘ座標の値が分かる。
（３）ｘ座標を求める問題＜4分＞。
Ｃは、y＝x2とｙ＝(3√2－4)ｘ＋6√2－8の交点であることより連立方程式を解きＣのｘ座標を求めることができる。
（４）面積を求める問題＜4分＞。
ｙ＝ｘ＋２とｙ＝(3√2－4)ｘ＋6√2－8を連立して解き2直線の交点の座標を求める。ＡＢＤＣの面積＝△ＢＥＤ－△ＡＥＣとなる。
【大問４】約束記号に関する新傾向問題
- 時間配分：14分
（１）与えられた条件に合致する値の範囲を求める問題＜2分＞。
正の数aに対して、aの小数第１位を四捨五入して得られる整数を＜a＞と表す約束記号に関する問題である。四捨五入した場合の数値の取り得る範囲を考える。
（２）与えられた条件に合致する値の範囲を求める問題＜3分＞。
＜ｘ＞＝ｎとすると、ｘの取り得る値の範囲はｎ－0.5≦ｘ＜ｎ＋0.5となることから取り組む。ｙ＝2ｘ＋5を満たしているので、ｙ＝２×(ｎ＋0.5)＋5＝2ｎ＋６となる。このことを手掛かりに正解へのアプローチを考える。
(３) 与えられた条件に合致する値を求める問題＜9分＞。
＜ｘ＞＝ｎとした場合、＜ｙ＞＝2n＋4、2n＋5、2n＋6となる。その各々について、条件を踏まえて合致する値を求めること。
攻略のポイント
押さえておきたい分野的は、計算（方程式、式の値、整数の性質）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形と立体図形、場合の数、新傾向(規則性)の分野である。ただし、合格点を取るためには、これらの分野の単純な演習スキルだけでは歯が立たないであろう。そのようなスキル演習が必要であり、問題解法の基礎になることは言うまでもない。大切なことは、そのスキル演習からさらに一歩踏み込み、数学的な原理的理解（公式的発想）の質を深めることである。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が出てくるまでの解法のプロセスをしっかり把握した上で、自身で公式を導き出せるようにすることがベストである。小手先のスキル演習力の向上だけに目標を置くのではなく、問題の本質的な理解をベースに論理的に思考できる数学力をつけることが必要である。