大阪星光学院中学校 入試対策

（１）□を求める計算問題

（２）時計算の出題。短針が進んだ角度を①、長針が進んだ角度を⑫とすると、⑫×2＝120度＋①となる。

（３）63円のはがきを○枚、180円のはがきを△枚持っているとすると、6×○＋55×△＝22×○＋30×△より、16×○＝25×△となる。

（４）回転させる前の正方形上で等積移動をして考えることがポイント。

（５）いろいろな解法が考えられる。斜線部分の左端頂点から右に正方形の辺と平行な線を入れ、上下2つの三角形に分けて考えてみよう。

計算問題1題と独立小問4題。単なる1行題ではなく、特に図形問題の2題は難度がやや高い。今回入試全体の難度の高さを考えると、（３）までは正答必須。計算ミスは　厳禁である。

（１）三角形DGHと三角形DBCおよび三角形IDHは相似な三角形であり、3辺の比が3：4：5であることを利用。

（２）GH＝4/3㎝、IH＝3/4㎝になるので、GI＝4/3－3/4より、7/12㎝。

（３）Fから長方形の対策BDに垂線を引き、その足をPとする。三角形DFPも3：4：5の直角三角形となり、DP＝2.5㎝より、FD＝25/8㎝。三角形FBDの面積を求め、三角形IDHの面積を引けばよい。

折り返し図形にできる相似形をテーマにした平面図形と比の出題。折り返しの問題では、等しい角度に同じ印を打つなどして、相似な三角形を見つけることが鉄則である。とは言っても、本問題はやや難度が高め。（１）できれば（２）までは正答したい。

（１）問題文の「2点P、Qは同じ速さ」より、Pが半径7㎝の円を1周したとき、Qは半径12㎝の円の7/12進むことになる。角BOQ＝210度になるので、QからBOの延長線へ垂線を引くと6㎝。したがって、三角形OBQの面積は12×6÷2より、36㎠。

また、三角形OPQがPQを一番長い辺とした直角三角形となるとき、角POQ=90度。Pの進む角とQの進む角の大きさの比は12：7なので、比の5にあたる角度が90度。したがって、Qが進んだ角度は126度となる。

（２）三角形OPQにおいて、角POQ＝90度で、三角形OBQは二等辺三角形となり、角BOQが150度となる。2通りの状況を図に描いて考えること。

大小2つの同心円上にある2点の移動に関する問題で、難度は高い。本校では過去にも円周上の点の移動に関して何回か出題されている。図に2点が動いている様子を描いて確認しながら解き進めること。

（１）分数の分母にわる数、分子にかける数がくると考えればよい。全部×か、2の前だけ÷の2通り。

（２）8つの数を素因数分解すると、2は4個、3が2個、5が1個ある。（１）同様に分数の分母と分子に分かれると考えると、分母にきてもいいのは2が2個まで、3は1個までとなる。

（３）同様に素因数分解と分数の分母にきてもよい数を考えればよい。

場合の数の出題。素因数分解をした上で、「÷をつけることは分数の分母にくることを意味し、約分して分母が1になればよい」という発想ができれば、正答に近づくことができる。（２）までは正答したい。

（１）1つの頂点を共有する三角錐の体積比の考え方を利用する。三角錐OABCと三角錐OAFEを比較すると、4×2：3×1＝8：3となる。従って、三角錐OAFEと四角錐OABCDの体積の比は、3：8×2＝3：16となる。

（２）三角形OACにおいて、三角形OPAの面積：三角形CPAの面積＝1：1。三角形PAHの面積：三角形PCHの面積＝1：1。これより、三角形OPAの面積：三角形PAHの面積＝2：1となるので、OP：PH＝2：1。

（３）三角形OBDに注目する。Dから真上に伸ばした線とEGの延長線との交点をQとすると、QD：OP＝3：2となる。三角形OPGと三角形DPQの相似より、OG：GD＝3：2。

（４）三角錐OACDと三角錐OAPGの体積比は、5×2：3×1より10：3となる。（１）で求めた結果を合わせて考えると、27/80：1より、27：80となる。

立体図形の出題。難度の高い問題だが、同様の問題の経験者にとっては、比較的苦労することなく解けるであろう内容。1つの頂点を共有する三角錐の体積の解法について、これを機会にマスターしておきたい。