渋谷教育学園幕張高校 入試対策
2025年度「渋谷教育学園幕張高校の数学」
攻略のための学習方法
基本問題から標準・ハイレベルまで非常にバランスのとれた出題範囲となっている。図形編はいうまでもなく、数量編の問題についても数学的発想が求められる問題がある。さらに大事なことは、『数学的発想』言い換えれば『正解へ至るアプローチの見通し』である。この『見通し』には様々あり、どのような方針（見通し）を立てるかで正解へ辿り着く道のりが平坦なものになるのか、それとも茨の道になるのかが左右される。それはあたかも、山の頂上が一つであるがその頂上に至る方法は幾通りもあるかのようなものである。特に、渋谷教育学園幕張高校のようなレベルの高校においては、合格点を取れるかどうかはこの『見通し』を的確に立てられるかどうかにかかってくる。では、どうすればそのような『見通し』を自分のものにできるのか。結論から言えば、①最後まで自分頭で考え抜く、②必ずエンピツを持ち紙に解法を書き出す、ということである。①は非常に重要である。よくあるパターンとして、解答を出す最後のところで中々上手くいかず、いいアイディアも浮かばない状態で『解答』を思わず見てしまうことを経験した受験生も少なくないであろう。そこは我慢をして、最後まで自分の頭で考え抜くのである。スタートの考え方は正しかったのであろうか、どこかで単純な計算ミスはしていないだろうか、問題が求めている内容は自分が認識している内容と相違していないのか、ということを突き詰めて吟味しなければならない。この作業を疎かにすると、いつまでたっても正解へ向けた『見通し』を身に付けることはできなくなる。思わず正解を見たいという『誘惑』に負けることなくそれを打ち破り、時間が掛かってもいいので『自分の解答』を出さなければならない。②については、要領の良い受験生は数学の問題が分からなくなると『正解』を見て、考え方のプロセスを目で追って『理解したつもり』になってしまう『落とし穴』にはまってしまう。ある意味で『数学はスポーツ』である。必死に紙に向かって鉛筆を走らせ、汗をかき、這いずり回ってでも正解（ゴール）に辿り着く。その姿は、あたかも過酷な道のりを走り切るマラソンランナーのようである。したがって、必ず『鉛筆を持って』、問題に向かい『自分の頭』で考え抜くということである。そのような学習姿勢で数学の学習に臨み、渋谷教育学園幕張高校の合格を勝ち取るために、必ず次の分野についてはしっかり事前準備を行って欲しい。数式の計算（文字式、方程式、因数分解、基本対象式、有理数と無理数）、平面図形（相似、三平方の定理、相似比に基づく求積）、立体図形（切り口、体積などの求積、回転体、表面積）、場合の数と確率が大事である。特に、立体を回転させイメージの中で問題の意図を把握できる理解力の訓練が重要である。ハイレベルの問題にどんどん挑戦して貰いたい。受験生の健闘を祈る。
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2025年度「渋谷教育学園幕張高校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、独立小問群＜12分＞。数の計算、連立方程式、因数分解、約束記号、データ活用(四分位数など)に関する問題である。
大問２は、データの活用(場合の数)に関する問題＜8分＞。城球、赤球、青球をを袋詰めする場合の数を求める問題である。
大問３は、関数(1次関数と2次関数の融合)に関する問題＜11分＞。点の座標を求める問題、座標平面上の辺の長さを求める問題である。
大問４は、平面図形(二等辺三角形と円)の問題＜12分＞。角の２等分線の特性や相似比と面積比に関連した問題である。
大問５は、空間図形(六面体と球)に関する問題＜17分＞。三平方の定理や相似の考え方をあてはめて解く問題である。
【大問１】小問題群
- 時間配分：12分
（１） 数の計算問題＜2分＞。特定の文字式を置き換えて計算するのがポイント。√3 －１＝Aと置き換えることにより計算を単純化する。
（２） 連立方程式の問題＜2分＞。
と置き換えて与式を単純化する。
（３） 因数分解の問題＜2分＞。与式を展開し(a+b2)=Aと置き換えて因数分解する。
（４） 約束記号の問題＜3分＞。x以下の最大の整数を[ｘ]と約束し、[ ]を用いた方程式を解く問題。約束記号の特性を見極めて連立方程式の解を求める。
（５） データ活用(四分位数など)に関する問題＜3分＞。41以上100未満の素数に関するデータ処理の問題である。四分位数などの定義や扱い方をしっかり理解しておくこと。
※以下の類題に挑戦しよう。
問1．x=2−√3のとき、x3−4x2+4x−6の値を求めよ。 （解答）−3√3
問2．次の問いに答えなさい。
（１） x2y+x2−ｙ−1を因数分解しなさい。 （解答）(x+1)(x−1)(y+1)
（２） x2y+x2−ｙ−16=0を満たす整数の組(ｘ、ｙ)をすべて求めよ。 （解答）(4、0)、(2、4)、(0、−16)、(−2、4)、(−4、0)
問3．2つの正の整数ｍ、ｎの最大公約数を(ｍ、ｎ)で、最小公倍数を[ｍ、ｎ]でそれぞれ表すとき、ｎについての2次方程式 (9、12)x2−[2、3]x([12、18]、27)=０を解きなさい。 （解答）x=−1、3
問4．袋の中に、白玉と赤玉が2：3の割合で入っている。そこに青玉を50個混ぜ、無作為に80個取り出すと、そのうち10個が青玉であった。はじめに入っていた白玉は、およそ何個であるか推定しなさい。
（解答）およそ140個
【大問２】場合の数に対する問題
- 時間配分：8分
（１） 場合の数を求める問題である＜3分＞。白球3個、赤球2個、青球1個の計6個の球において白球が必ずどの袋にも入るとき、3つの袋に入れる場合の数を求める問題である。3つの袋に区別がないこと、および赤球2個、青球1個の入れ方を考えるのが本問のポイントである。
（２） 場合の数を求める問題である＜5分＞。6個の球の袋への入れ方を求める問題である。白球を3つの袋にどのように入れるかがポイントであるので、白球の入れ方に基づき場合分けを行う。
※以下の類題に挑戦しよう。
問 袋の中に、5個の赤玉と3個の白玉が入っている。袋から1個の玉を取り出して、赤玉であればかわりに白玉をいれ、白玉であればかわりに赤玉をいれることにする。さらに、袋の中をよくかき混ぜたのち、もう一度袋から1個の玉を取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。 （解答）
【大問３】関数(1次関数・2次関数の融合)に関する問題
- 時間配分：11分
（１） 座標を求める問題である＜3分＞。y＝x2上にあるx座標をa(a＞0)とするPからx軸に垂線ＰＱを引き、△ＰＱＲが正三角形になるときにＲの座標をaを用いて表す問題である。Ｒよりｘ軸に垂線ＲＨを引くと△ＱＲＨは3辺の比が1：2：√3 の直角三角形となることを用いて解法を進める。
（２） 辺の長さの比を求める問題である＜8分＞。
① ＯＳは△ＰＱＲを2等分するという条件より、
であるのでSとＲを結ぶ補助線を引くと、△ＰＳＲ：△ＳＱＲ＝ＰＳ：ＳＱ＝２：１となることより考えを進めること。
② Ｔよりｘ軸に垂線ＴＩ、ＴＱに垂線ＴＪを引くと△ＰＴＪは3辺の比が1：2：√3 の直角三角形となる。このことを利用してaの値を求める。
※以下の類題に挑戦しよう。
問 下図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあり、3頂点Ａ、Ｃ、Ｄは放物線
上、頂点Ｂはｙ軸上にある。点Ａのｘ座標をaとおく。点Ｄのｘ座標が−2であるとき、次の問いに答えなさい。
（１） 点Ｃのｘ座標をaを用いて表せ。 （解答）−a-2
（２） 点Ｂのｙ座標をaを用いて表せ。 （解答）a2+2a
（３） 平行四辺形ＡＢＣＤがひし形になるとき、aの値と点Ｂのｙ座標を求めよ。
（解答）a=−1+√5 点Ｂのｙ座標 4
（４） 平行四辺形ＡＢＣＤが長方形になるとき、aの値と点Ｂのｙ座標を求めよ。
（解答）a=−1+√13 点Ｂのｙ座標 12
【大問４】平面図形(二等辺三角形と円)に関する問題
- 時間配分：12分
（１）辺の長さを求める問題である＜3分＞。ＢＱは∠AＢＣの2等分線であること、および△ＡＢＣが二等辺三角形であることを利用する。さらには、△ＡＣＲの内角にも着目すること。
（２）辺の長さを求める問題である＜4分＞。Ａを通りＢＲに平行な直線とＢＱの延長戦との交点をＳとすると、△ＡＢＳは二等辺三角形であり、△ＡＱＳ∽△ＲＱＢとなることよりＱＡ:ＱＲ＝ＳＡ:ＢＲとなる。また、△ＢＲＱ∽△ＡＲＣであることも利用してＱＲの長さを求める。
（３）三角形の面積比を求める問題である＜5分＞。ＣとＳを結ぶと△ＡＢＣ＝△ＳＢＣとなる。よって、△ＰＱＣ：△ＡＢＣ＝△ＰＱＣ：△ＳＢＣ＝ＰＱ：ＢＳである。△ＡＳP∽△ＣＢＰ、△ＡＱＳ∽△ＲＱＢであることも利用する。※以下の類題に挑戦しよう。
問 下の図のように、線分ＡＢを直径とする半円Ｏの周上に2点Ｃ、Ｄをとり、2直線ＡＣ、ＢＤの交点をＥ、線分ＡＤとＢＣの交点をＦとする。ＡＤ＝3√13、ＤＥ＝2√13、ＣＥ＝8のとき、次の問いに答えなさい。
（１）線分ＣＦの長さを求めよ。 （解答）
（２）線分ＣＤの長さを求めよ。 （解答）2√13
（３）△ＣＦＤの面積を求めよ。 （解答）
【大問５】空間図形(六面体と球)に関する問題
- 時間配分：17分
（１） 辺の長さを求める問題である＜4分＞。四角形ＥＦＣＧがひし形であることよりＥＦ＝ＧＣであり、ＥＦ∥ＧＣとなる。また、ＡＢＣＤは正方形である。Ｂから垂線ＢＩをＡＥに引くと△ＡＩＢ≡△ＤＣＧとなる。さらに、△ＢＦＣに三平方の定理をあてはめてＢＣを長さを求める。最終的には、△ＡＥＣは直角三角形であるので三平方の定理より求める対角線ＥＣの長さを求める。
（２） 体積を求める問題である＜5分＞。正方形ＡＢＣＤ(1辺＝５)の各辺に円Ｋは内接しているので円Ｋの直径＝５となる。よって、円Ｋの
である。ＰＣと円Ｋの交点をＪとするとＯＪが三角錐の母線となる。したがって、△ＯＰＪにおいて三平方の定理により三角錐の高さが求められる。
（３） 線分の長さを求める問題である＜8分＞。Ｏを通りＥＦＣＧに垂直な直線とＥＦＣＧの交点をＨとすると、ＨはＥＣ上の点となる。ＰよりＥＣ、ＯＨにそれぞれ垂線ＰＬ、ＰＭを引くと△ＡＥＣ∽△ＰＬＣであることを利用し各辺の長さの比が求められる。最終的に、ＯＨ＝ＯＭ＋ＭＨでＯＨが求められる。
※以下の類題に挑戦しよう。
問 下図のように円柱の中に半径2㎝の球を4個入れたところ、4個の球は互いに接した。3個の球はすべて下の底面と側面に接し、残りの球は円柱の上の底面に接した。次の問いに答えなさい。
（１） 円柱の底面の円の半径を求めよ。 （解答）
㎝
（２） 円柱の高さを求めよ。 （解答）
㎝
攻略ポイント
ポイントはズバリ、関数と空間図形である。関数については、２次関数（放物線）と１次関数（直線）との関係に関する問題、つまり、２点で交わったときの座標、座標平面にできた平面図形を回転させたときの体積・表面積はよく練習をしておくべきである。また、放物線と直線との交点はｘに関する２次方程式を解くことになるので、２次方程式で使う事柄（解と係数の関係、平方完成など）をしっかり理解すること。また、空間図形に関しても入念に練習を積み重ねて欲しい。その際には必ず、紙を用意しエンピツをもって、実際に答案を仕上げるようにすること。また、場合の数や確率についても十分な準備を行っておくこと。また、新傾向の問題（平面座標と確率の融合問題、統計学の基礎となる資料の整理）なども今後出題が増加することが予想されるため、十分な演習を行っておくことが大切である。