渋谷教育学園幕張高校 入試対策
2021年度「渋谷教育学園幕張高校の数学」
攻略のための学習方法
基本問題から標準・ハイレベルまで非常にバランスのとれた出題範囲となっている。図形編はいうまでもなく、数量編の問題についても数学的発想が求められる問題がある。さらに大事なことは、『数学的発想』言い換えれば『正解へ至るアプローチの見通し』である。この『見通し』には様々あり、どのような方針（見通し）を立てるかで正解へ辿り着く道のりが平坦なものになるのか、それとも茨の道になるのかが左右される。それはあたかも、山の頂上が一つであるがその頂上に至る方法は幾通りもあるかのようなものである。特に、渋谷教育学園幕張高校のようなレベルの高校においては、合格点を取れるかどうかはこの『見通し』を的確に立てられるかどうかにかかってくる。では、どうすればそのような『見通し』を自分のものにできるのか。結論から言えば、①最後まで自分の頭で考え抜く、②必ずエンピツを持ち紙に解法を書き出す、ということである。①は非常に重要である。よくあるパターンとして、解答を出す最後のところで中々上手くいかず、いいアイディアも浮かばない状態で『解答』を思わず見てしまうことを経験した受験生も少なくないであろう。そこは我慢をして、最後まで自分の頭で考え抜くのである。スタートの考え方は正しかったのであろうか、どこかで単純な計算ミスはしていないだろうか、問題が求めている内容は自分が認識している内容と相違していないのか、ということを突き詰めて吟味しなければならない。この作業を疎かにすると、いつまでたっても正解へ向けた『見通し』を身に付けることはできなくなる。思わず正解を見たいという『誘惑』に負けることなくそれを打ち破り、時間が掛かってもいいので『自分の解答』を出さなければならない。
②については、要領の良い受験生は数学の問題が分からなくなると『正解』を見て、考え方のプロセスを目で追って『理解したつもり』になってしまう『落とし穴』にはまってしまう。ある意味で『数学はスポーツ』である。必死に紙に向かって鉛筆を走らせ、汗をかき、這いずり回ってでも正解（ゴール）に辿り着く。その姿は、あたかも過酷な道のりを走り切るマラソンランナーのようである。したがって、必ず『鉛筆を持って』、問題に向かい『自分の頭』で考え抜くということである。そのような学習姿勢で数学の学習に臨み、渋谷教育学園幕張高校の合格を勝ち取るために、必ず次の分野についてはしっかり事前準備を行って欲しい。数式の計算（文字式、方程式、因数分解、基本対象式、有理数と無理数）、平面図形（相似、三平方の定理、相似比に基づく求積）、立体図形（切り口、体積などの求積、回転体、表面積）、場合の数と確率が大事である。特に、立体を回転させイメージの中で問題の意図を把握できる理解力の訓練が重要である。ハイレベルの問題にどんどん挑戦して貰いたい。受験生の健闘を祈る。
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2021年度「渋谷教育学園幕張高校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、独立小問群である＜15分＞。
計算問題は工夫が必要である。立体図形を貼り合わせて新たな立体ができることの証明問題。
大問２は、確率に関する問題である＜11分＞。
じゃんけんに関連した確率問題。
大問３は、平面図形(三角形と円)に関する問題である＜8分＞。
円周角や角の2等分線に関する原理を応用する問題。
大問４は、関数(直線と放物線)の問題である＜11分＞。
xy座標平面に三平方の定理をあてはめる問題。
大問５は、空間図形(円柱と球)に関する問題である＜15分＞。
円柱の内部に球が接するときの問題。
【大問１】小問題群
- 時間配分：15分
（１）2次方程式の問題である＜2分＞。
与式を展開しx−３＝Aと置き換えて因数分解を行う。
（２）四則演算と平方根の問題である＜4分＞。
（ⅰ）四則演算であるがケアレスミスのないように確実に計算すること。
（ⅱ）平方根の計算問題である。各項を有理化したうえで計算を進める。
（３）整数の性質に関する問題である＜3分＞。
与式を展開したうえでa＋４＝Aと置き換えて考えを進める。a、bがともに整数であることより、与式左辺の因数の変域が特定できる。
（４）多面体に関する問題である＜6分＞。
正四面体が2つあり、それぞれの正四面体のある面同士をその面の頂点が重なるように貼り合わせて作った六面体に関する問題である。本問の条件でできる六面体をしっかりイメージすることが重要である。
【大問２】じゃんけんのカードを用いた確率に関する問題
- 時間配分：11分
（１）確率に関する問題である＜5分＞。
A、Bがそれぞれ手持ちのじゃんけんカードを用いてじゃんけんをするので、まずは2人のじゃんけんカードの出し方を考える。そのうえで、1回目・2回目での勝敗について正確に場合分けを行う。
（２）確率に関する問題である＜6分＞。
A、Bがじゃんけんカードを使って4回じゃんけんを行うとき、4回終了した時点でのA、Bが勝った回数が同じになる確率を求める問題。ていねいに１～4回でそれぞれが勝ちとなる場合を考える。
【大問３】平面図形(三角形と円)に関する問題
- 時間配分：8分
（１）辺の長さを求める問題である＜3分＞。
特別な三角形(内角がそれぞれ30°・60°・90°)を考え、その辺の比が１：２： となることを利用する。
（２）辺の長さを求める問題である＜5分＞。
CからADに垂線CGを引き、△CGDにおいて三平方の定理をあてはめる。
【大問４】関数(放物線と直線)に関する問題
- 時間配分：11分
（１）辺の長さを求める問題である＜4分＞。
PQ＝FQのときのFPの長さを求める問題である。与えられたxy座標平面において直角三
角形を見つけ出し、三平方の定理をあてはめ求めたい辺の長さの手掛かりをつかもう。
（２）点の座標の関係・点の座標を求める問題である＜7分＞。
（１）より、FP＝ ｋ２＋１とおける。また、点F、Q、S、Rが同一円周上にあるという条件により円周角の定理をあてはめPQ＝FSとなり、PQ∥FS。したがって、FPQSは平行四辺形となりPR∥QSとなることを利用してPの座標を求める。
【大問５】空間図形（円柱と球）に関する問題
- 時間配分：15分
球の個数を求める問題である＜5分＞。
底面の半径が6、高さが29の円柱に、半径が5の球を入れた場合、何個の球が入るかを求める問題である。入っている球のすべての中心を通り円柱の底面に垂直な平面による断面図を考える。いくつかの直角三角形を見つけ出し、三平方の定理をあてはめる。
- 円柱の高さを求める問題である＜10分＞。
4個の球が入る場合、円柱の底面の半径を25、球の半径を12とするとき最も小さい円柱の高さを求める問題である。本問で想定する状態の平面図を考えると同時に、立面図がどのようになっているかを考える。そのとき本問の立体の中に表れる平面図形中の対称性に注目する。
攻略のポイント
ポイントはズバリ、関数と空間図形である。関数については、２次関数（放物線）と１次関数（直線）との関係に関する問題、つまり、２点で交わったときの座標、座標平面にできた平面図形を回転させたときの体積・表面積はよく練習をしておくべきである。また、放物線と直線との交点はｘに関する２次方程式を解くことになるので、２次方程式で使う事柄（解と係数の関係、平方完成など）をしっかり理解すること。また、空間図形に関しても入念に練習を積み重ねて欲しい。その際には必ず、紙を用意しエンピツをもって、実際に答案を仕上げるようにすること。また、場合の数や確率についても十分な準備を行っておくこと。また、新傾向の問題（平面座標と確率の融合問題、統計学の基礎となる資料の整理）なども今後出題が増加することが予想されるため、十分な演習を行っておくことが大切である。