立教新座高等学校 入試対策
2025年度「立教新座高等学校の数学」
攻略のための学習方法
全体的に見てみると標準問題が圧倒的に多い。
２次関数、平面図形、立体図形は要注意であり、徹底した演習が必要である。
２次関数に関しては、直線（１次関数）との関連の問題は必須である。同じ概念でも使われているジャンルによって意味合いと扱い方が異なってくる、ということに気を付ける。
例えば、「変化の割合（＝グラフの傾き）」は直線と放物線とでは概念的内容については、当然ながら同じであっても、実際の問題になると設問へのあてはめ方及び処理の仕方が異なってくる。
１次関数においては直線のグラフとなり、当然ながら、変化の割合（グラフの傾き）は一定である。これに反して、２次関数の放物線においては、放物線上のどの２点を選択したかで変化の割合（グラフの傾き）はプラス（右上がり）になったり、マイナス（右下がり）になったりする。
特に、放物線上の異なる２点を結んでできる変化の割合は、その２点の間隔を限りなく「ゼロ（０）」に近づけてゆくと、高校数学で学習する「微分」の世界へと入ってゆく。放物線に関しては必ず出題されると考えた方が良いし、高校数学への導入としての役割も担うと認識したうえで、しっかりと概念的な理解を深めてゆきたい。
確率の問題も近年、上位高を中心に頻出傾向にある。しかも、出題傾向は年々難易度を上げているようである。標準的問題集にあるような、場合分けのパターンが単純なもの（複雑といってもせいぜい「～の場合が2回以上ある場合」）ではなく、他の数学の分野との融合問題である場合が予想される。
例えば、確率と図形の融合問題である。
サイコロを振って偶数の目が出たらⅹの方向に目の数だけ進み、奇数が出たらｙの方向に目の数だけ進むという条件で進んだ場合に、座標面上にあるグラフ（直線の場合もあれば放物線の場合もある）との関係で設問の条件を満足する場合の確率を求めよといった問題である。
このような場合に、ひたすら「場合と確率」だけを演習すればよいというわけでは決してない（勿論、しっかりした「場合と確率」の知識と演習量が求められるのは大前提ではあるが）。座標平面の特性やそこに存在するグラフ（直線又は放物線）の特徴を踏まえて問題を解けるかどうかが合否のポイントであろう。
さらには、そのようなサイコロの出た目の数字の分だけ立体図形の辺の上を移動させるなどの条件設定で作問も可能である。
しかも、サイコロの目の数だけ動く点（動点）はどのような動きをするか、また設問にある一定の条件の下で、指定された点を結んだ場合にどのような平面図形ができるか、そしてその平面で立体図形を切り取った場合における、切り口の形状や面積など、さらには切り取り後における指定された点を含む立体の体積を求める問題にも慣れておいて欲しい。
志望校への最短距離を
プロ家庭教師相談
2025年度「立教新座高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜13分＞。
1次関数(変域)、2次方程式、確率、平面図形(面積)、空間図形(長さと体積)から出題されている。
【大問２】関数（1次関数と2次関数融合）に関する問題＜11分＞。
直線と放物線に関連する融合問題、及びｘｙ座標平面上における条件に適するｘ座標、ｙ座標を求める問題である。
【大問３】データの活用(確率)に関する問題＜12分＞。
1個のさいころを4回投げて、それぞれのさいころの目で4桁の数字を作った場合の問題の条件に合致する場合の数を求める問題である。
【大問４】空間図形(正八面体)に関する問題＜8分＞。
正八面体における特定の辺と「ねじれの位置」にある辺を求める問題や正八面体の2点間における最短距離を求める問題、また切り口の周の長さを求める問題である。
【大問５】平面図形(正方形、おうぎ形)に関する問題＜16分＞。
正方形の内部に正方形の1辺を共有する四分円に関する問題である。角度や辺の長さや特定の条件に見合う面積を求める問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：13分
（１）関数の変域問題＜2分＞。
1次関数の変化の割合(グラフの傾き)が負であるので、ｘの変域の左端がｙの変域の右端、ｘの変域の右端がｙの変域の左端となる。
変化の割合と変域の関係に関する問題は頻出分野であるので事前の十分な演習準備が必要である。
（２）2次方程式問題＜2分＞。
2つの2次方程式が共通解をもつという条件に関する問題である。共通解をaとおいて2つの方程式の差を求めるとa2が消去されることにより共通解aが求められる。
（３）確率問題＜3分＞。
数字のカードを用いた場合の数に基づく確率を求める問題である。条件に中に「中央値」という考え方が用いられている。
（４）平面図形(面積)問題＜3分＞。
相似関係にある三角形を見つけ出すこと、及び面積比は相似比の2乗に比例することを本問にあてはめる。
（５）空間図形(辺の長さ、体積)問題＜3分＞。
相似な三角形を見つけること、また△ＡＢＣは直角二等辺三角形であることや△ＡＣＧが直角三角形であることより三平方の定理をあてはめることが重要である。
※本問と同レベルの類似問題に挑戦しよう。
問１．2次方程式x2+ax+ｂ=0の2つの解が、2次方程式x2−x−6=0の2つの解よりそれぞれ2大きいという。a、bの値を求めよ。
(解答) a=−5、b=0
問２．座標平面上に3点Ａ(４，８)、Ｂ(１，６)、Ｃ(６，２)を頂点とする△ＡＢＣと直線ℓ：ｙ=ax+1(aは定数)がある。直線ℓが△ＡＢＣと交わるような定数aの範囲を不等式で示せ。
(解答) 
問３．右のように、1から4までの数字が1つずつ書かれたカードが4枚のカードがある。それをよくきり、2枚のカードを1枚ずつ順にひいて、初めにひいたカードの数字を十の位、次にひいたカードの数字を一の位として、2枚のカードを並べ、2けたの整数を作ることにする。この２けたの整数について、
次の(１)、(２)の問いに答えよ。
(１)十の位の数字が一の位の数字より大きくなる場合は、何通りあるか。
(解答)６通り
(２)３の倍数となる確率を求めよ。
(解答) 1/3
問４．右図のように、ＡＤ∥ＢＣである台形ＡＢＣＤに半径２㎝の円Ｏが内接している。円ＯとＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡとの接点をそれぞれＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとすると、ＯＢ=ＣＦ=4㎝となった。
(１)∠ＥＨＦの大きさを求めよ。
(解答) 60°
(２)線分ＣＧの長さは、線分ＧＤの長さの何倍か。
(解答) 4倍
【大問２】関数(2次関数と1次関数)に関する問題
- 時間配分：11分
となるとき、点Ｐのx座標を求めよ。
【大問３】データの活用(確率《さいころ》)に関する問題
- 時間配分：12分
【大問４】空間図形(正八面体)に関する問題
- 時間配分：8分
【大問５】平面図形(正方形・おうぎ形)に関する問題
- 時間配分：16分
（１）角度を求める問題＜3分＞。
△ＤＥＣの内角と外角の関係性を理解する。
（２）辺の長さを求める問題＜３分＞。
△ＤＥＣは直角三角形であるので三平方の定理を使う。
（３）面積を求める問題＜4分＞。
△ＰＥＲ∽△ＤＥＣであり、その相似比は１：３である。△ＡＱＲの面積は、×ＡＱ×ＡＲである。
（４）面積を求める問題＜6分＞。
求める面積は、ＡＢＣＤ−(△ＤＥＣ+ＱＢＣＰ)となる。また、△ＤＥＣは三辺比が１：２：√3 の直角三角形であり、△ＰＱＣ≡△ＤＥＣを利用する。
攻略のポイント
全体的には標準レベルの問題である。
事前の準備としては標準的な問題を徹底して繰り返し演習することである。特に、２次関数に関しては様々な出題パターンを想定して準備をして欲しい。
放物線（２次関数）に関する問題は、高校入試の数学においてメインテーマの一つである。
直線がからんでくると交点の座標は２次方程式の解を求める考え方が必要であるし、その際に中学校では絶対に学習しない（塾等では当然のように学習する）『解と係数の関係』の考え方を応用すると迅速かつ確実に正解へたどり着ける。
また、図形編では空間図形は必須と考えて欲しい。空間図形に平面図形で使われる各種の定理（中点連結定理、三平方の定理、特定三角形（三角定規）における三辺の比など）をしっかり当てはめられるかどうかが、合否の分かれ目といっても過言ではないであろう。
また、確率の問題にもしっかり対応できるようにしておくこと。確率で大事なのは『発想の豊かさ』である。さらに、将来的には今以上にその重要性が増すと思われる「資料の整理＝統計」も用語の定義を含めてしっかり学習しておいてほしい。