渋谷教育学園幕張中学校 入試対策

(1) 簡単な数字でルールを試す。作業手順を丁寧に確認するだけ。

(2) この程度の個数ならば、実際に書き出した方が良い。書き出し方は自分流を確立して置く必要がある。出題者の意図は書き出す作業の中で、様々な仕組みを考察し深掘りさせることであることに注意。

(3) (2)から獲得した「見方・考え方」に素因数分解の知識を適用する。

素因数分解と約数の個数の関係は小学生にはあまり馴染みはないが、高校の数学では大きなテーマの一つである。(2)の書き出す作業の中で、「箱の個数＝約数の個数」⇒候補となる数を素因数分解の視点から絞り込むことは、他校の入試問題も含め、素因数分解を活用する高レベルの問題で経験を積んで置く必要がある。

(1) 問題の規則をよく知ることが目的である。示された通りただ実行すればよい。題意からカが3か4となり、対象が絞られる。

(2) カの数で場合分けして整理すればよい。

(3)は(1,1,2)、(4)は(1,2,2)(1,1,3)で、アに入る数を中心に場合分けする。ただし、和が作れない列への配慮も必要。

(1)で規則を実行してみて、(2)で規則をより詳しく整理し、その結果を(3)(4)で利用する。取り組み方は大問1と同じである。そこには当校の求める生徒像が暗示されている。真の問題解決力が段階に沿って試されて行く。当校の対策の重要な一つはこのようなアプローチを多くの実戦経験の中で身に付けることである。

(1) しきりと水位で水槽をいくつかの部分に分ける図を作成し、面積比を活用する。図2と3の比較からそれぞれの分からない部分を究明して行く。

(2) Qの水面がしきりXの上端に達したときであるが、3分後から開始されるB管からの水の流れ込みも考慮する。

(3) 管Bの水が入り始めるとき、Pの水面がXの上端に達するとき、Qに管Bからの水が流れ込み始めるとき、それぞれの時点でのP、Q、Rの水位を追跡して行き、それぞれの場合の図を描き考察する。図を描き考えることが必要であり、素早く、自分流の図が描けなければならない。時間をかけ過ぎないように注意する。この設問は回避してもよい。

水位変化の図は、仕切りがあり、管が複数あり、開始時間がずれているなど複雑な要素が加わる場合には、時間の変化に沿っていくつもの図を描く必要がある。特に(3)の様に水位変化を細かく追跡して行き、「図の中で考える」ことが要求される場合には、素早く描き分けなければならないため、意識的な訓練が必要となる。

(1) 「なぜこれほど基本的な問題が出題されているのか」と考えてほしい。続く設問を見るとおうぎ形の半径は分からないが、半径×半径なら分かる場合に使用されるのではないかと先回りできることも重要である。

(2) ①は予想通り(1)の結果を利用する。②は初めのおうぎ形のAとBが回転後どこに移動するかを正確に求める必要があり、おうぎ形の移動と軌跡の問題では合同を使用することもあるという経験も活きてくる。ただしこの設問も時間がかかり過ぎる場合は回避すべき。

(2)は正確な作図能力が必要となる。②は同種の問題に多く取り組み、様々な解法に触れ、それらを活かすことができなければならない。思考力や発想力そのものを磨くのではなく、受験テキストの発展問題にある様々な解法を経験し、それらから獲得した知識や考え方を新しい問題に適用することができるかが問われている。

(1) 「のり面」「三つの立体に分かれる」などの意味を単純な図形で考えさせる。

(2) (1)で本問の意味を十分に理解していればさほど難しくはない。

(3) いくつに分かれるか分からなくなることで難易度は数段上がる。立体のカットにいかに習熟していても通用しない。本設問は回避することも一つの判断と言える。

立体図形のカットには「辺や面を延長して、同一平面上の点をつなぐ」「立体図形のカットでは突き抜ける三角錐を想定して断面を想像する」など様々な技術がある。できるだけ多くの技術に触れ、多くの問題に取り組み、経験を積んでもらいたい。ただし、今回は「のり面」という条件が加わり、難度はかなり上がってしまった。本校は常識的な知識と技術だけで終わらない柔軟な発想力による対処にも慣れておかなければならない。