お茶の水女子大附属高等学校 入試対策
2025年度「お茶の水女子大附属高等学校の数学」
攻略のための学習方法
極めて標準的な問題である。特別なアイディアや方法論は必要ない。ただし、標準的な問題演習をどれぐらい自分の頭で考え抜いたかが大事になってくる。少し解いてみて考えがまとまらず、その後の方針が立てられないときに、安易に解答を見るのではなく最後までとことん考え抜くこと（仮に正解が出なくとも構わない）が大事である。
数量編では、因数分解（標準以上のレベル）はしっかり行っておくこと。因数分解は、単に「因数分解」のジャンルにとどまらず、あらゆる分野（図形編も含め）に有用な考え方であるからである。つまり、平面図形の求積において、放物線と直線の連立方程式から交点の座標を求め、与えられた図形の面積を求める際に、因数分解を用いると手際よく短時間で確実に正解が求められる。高校数学において、全ての分野での計算の演習速度を高めるためにも因数分解は基礎力となるので、しっかり押さえておいて欲しい。
また、１次関数と２次関数は必ず出題されると考えて、あらゆる出題パターンを演習するように。
新傾向としては、平面座標と２つの円の共通接線や放物線が直線できられた場合の線分比なども十分練習をしておくように。
平面図形・空間図形共に、三平方の定理や円に関する定理（接弦定理、方べきの定理、円周角と中心角等）をしっかり図形の問題に的確にあてはめることができるかが大切である。
また、場合の数と確率は必ず標準以上からハイレベルの問題を演習するように。確率の問題も単純に「サイコロを転がして出た目に関する場合の数や確率」などの基本問題ではなく、サイコロの出た目の数だけ図形上の点が動く、という条件を考慮した問題。
その他には、新傾向の問題にも注目である。整数に関する問題。これは、整数の特性を考えさせる問題である。その際に、２つの整数ｍとｎが「互いに素である」ことの概念をしっかり理解し、正解へ向けどのようにその考え方と原理をあてはめるかを考えられるようにしておくこと。
さらに、「互いに素」であることを前提として、最大公約数・最小公倍数の求め方の仕組みをキチンと理解するように。お茶の水女子大附属高校が入学して欲しい生徒の思考過程として、単に公式を暗記して数値を公式にはめ込むだけでよしとする思考ではなく、公式や原理・定理をその成り立ちを自分で理解するスタンスで問題の解法に取り組んでもらいたい。そのような作業を繰り返すことによって「論理的思考に根差した学力」を養成する知性が醸成される。
また、「動く図形」も押さえておきたい。例えば、立体の表面上をすべらずに一定の速さで決まった方向に移動する２つの立体のある時間（＝Ｔ）における３つの立体の表面上の各１点を結んでできる新たな立体の体積を求める問題なども事前にチェックしておきたい。参考までに、その様な「新傾向問題」を演習してみようと思っている受験生は、『高校への数学「新作問題ベスト演習」』（東京出版）で「論理的思考力」を養って欲しい。
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2025年度「お茶の水女子大附属高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、独立小問題である＜7分＞。
正確で迅速な計算力が求められる。数の計算、1次方程式、空間図形(切り口)からの出題である。
大問２は、連立方程式の応用に関する問題である＜10分＞。
与えられた条件から手際よく方程式を立式することがポイント。溶液の濃度に関する問題であるので、図を描き問題の視覚化を図ることも重要である。
大問３は、関数(１次関数・２次関数の融合)に関する問題である＜12分＞。
xy座標平面上にある放物線と直線の交点の座標を求める問題や、指定された四角形の面積を求める問題である。
大問４は、平面図形(四角形)に関する問題である＜10分＞。
角度を求める問題、直角二等辺三角形や30°、60°、90°をもつ直角三角形における3辺比を用いる問題、さらに三平方の定理をあてはめる問題である。
大問５は、データの活用(確率)に関する問題である＜11分＞。
色のついたカードを用いた確率の問題。指定された手順のルールを確実に理解し、場合の数を間違いなく算出することが重要である。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：7分
（１）数の計算問題である＜2分＞。
小数を分数に置換した後、正確に計算する。
（２）1次方程式問題である＜2分＞。
展開の乗法公式を用いて与式をミスなく展開し方程式を解く。
（３）空間図形(切り口・辺の長さ)問題である＜３分＞。
切り口に関しては同一平面にある点を結んで順次考える。また、切り口の周囲の長さは、直角二等辺三角形や三平方の定理を正確にあてはめる。
【出題意図】
お茶の水女子大学附属高校の数学入試問題は、単に公式を覚えているかだけでなく、正確な計算力と、複数の単元にまたがる知識を統合して応用する力を試す意図がある。
問1 (1) 計算: 平方根、指数の計算、分数の計算など、中学数学で学ぶ様々な計算を正確にこなせるかが問われている。複雑な式を解きほぐし、ミスなく計算する力が求められる。
問1 (2) 方程式: 平方根を含む方程式を解く問題。見た目は複雑だが、文字式の扱い方を理解し、確実に変形できるかがポイントである。
問1 (3) 図形: 立体の空間認識能力と、三平方の定理などの図形知識を組み合わせる問題である。立体の切断面がどのような形になるかを想像し、必要な辺の長さを計算する力が問われている。
これらの問題は、難問ではないが、正確さと応用力が求められるため、確実に得点したい。
※上記出題意図に基づき以下の類似問題に挑戦しよう。
【類似問題】
類題
1 次の問いに答えなさい。
(1) 次の計算をせよ。
(2) 次の方程式を解きなさい。
SSSSS( √2+1)x+√2−2=( √2−1)x+√2+3
(3) 右図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点Ｐは辺ＡＥ上 
にある点で、ＡＰ：ＰＥ＝２：１である。
立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積は、三角錐Ａ－ＰＢＤの体積の何倍か求めなさい。
(解答) 9倍
【大問２】連立方程式に関する応用問題
- 時間配分：10分
溶液の濃度に関する連立方程式の問題である。基本的な考え方は、食塩水の濃度の問題と本質的には同じである。
（１）立式しｘ、ｙを求める問題である＜3分＞。図を描いて問題を視覚的に把握すること。立式からミスなく計算を行うこと。
（２）濃度を求める問題である＜2分＞。問題の趣旨を理解し、図を描いてどのような条件が与えられ、いかなる関係式が成立するかを考える。
（３）1次方程式の応用問題である＜5分＞。与えられた条件が少々複雑になってはいるが、基本に徹して図を描いて問題の原理的意味を確実に把握すること。
【出題意図】
本問は、単に公式に当てはめるだけでなく、文章を正確に読み解き、状況を整理して論理的に考える力を試す意図がある。
問1 連立方程式の立式と求解: 計画通りの混合を題材に、濃度と溶解物の量、溶液の総量の関係を正確に理解しているか問われている。未知数が複数ある場合、適切な連立方程式を立てる力が求められる。
問2・問3 状況の変化への対応: 計画とは異なる混合をしてしまった後の状況を分析し、濃度を計算したり、元の計画に戻すための追加量を計算したりする問題である。これは、単なる計算力だけでなく、問題解決能力を試す応用問題と言える。特に、問3-②は、さらに別の溶液を加えて濃度を調整するという、より複雑な思考が必要。
これらの問題は、文章から数学的なモデルを構築し、それを解くという、数学的思考のプロセス全体を評価するのに適している。
※上記出題意図に基づき以下の類似問題に挑戦しよう。
【類似問題】
類題
容器Aには10％の食塩水300ｇ、容器Ｂには18％の食塩水500ｇが入っている。Ａからxｇ、Ｂからyｇの食塩水を取り出し、Ａから取り出した食塩水をＢに、Ｂから取り出した食塩水をＡに入れると、Ａの食塩水の濃度は14.5％になる。また、Ａからyｇ、Ｂからxｇの食塩水を取り出し、Ａから取り出した食塩水をＢに、Ｂから取り出した食塩水をＡに入れると、ＡとＢの濃度が一致した。このときｘ、ｙの値を求めなさい。
（解答）ｘ=125、ｙ=225
【大問３】1次関数・2次関数の融合問題
- 時間配分：12分
ＡＥＦＣ+△ＣＤＦである。
【大問４】平面図形(四角形)に関する問題
- 時間配分：10分
（１）角度に関する問題である＜2分＞。
△ＡＣＤは二等辺三角形、ＡＤ∥ＢＣであることから錯角が等しくなることを利用する。
（２）角度、作図に関する問題である＜8分＞。
①ＡＣ=ＤＣ=ＢＣ＝2であるので、△ＡＣＤは3辺比が2:2:2√2=1:1:√2となり直角二等辺三角形であることが分かる。また、△ＢＤＣは二等辺三角形であることを利用する。
②ＤからＢＣの延長に垂線ＤＥを引くと△ＣＤＥは直角二等辺三角形となる。よって、△ＢＤＥに三平方の定理をあてはめる。
③ＡからＢＣに垂線ＡＦを引くとＡＦＥＤは長方形となる与えられた図形の中に複数の直角三角形が複数あるので、それらの中から適切に直角三角形をセレクトし三平方の定理をあてはめる。
④ＡＢＣＤを作図する問題である。条件より、ＡＣ＝ＢＣ＝ＤＣであるのでＣを中心とし、ＢＣを半径とする円を作図する。
【出題意図】
本問は、図形の性質を正確に理解し、それを用いて論理的に問題を解く力を総合的に測ることにある。具体的には、以下の3つの能力が問われている。
１．図形の性質の理解:
・四角形ABCDの性質: 問題文には「AD∥BC、AB<DC、BC=AC=DC」という条件が提示されている。これらの条件から、図形が台形、二等辺三角形といった特定の性質を持つ図形を組み合わせたものであることを読み取る必要がある。特に、BC=AC=DCという条件は、△BCDと△ABCが二等辺三角形であること、また、点Cが3点B, A, Dから等距離にあることを意味する。
・角度の性質: 平行線の錯角や同位角、二等辺三角形の底角、三角形の内角の和などの基本的な知識を駆使して、角度の関係を導き出す力が試される。
２．計算能力と座標の応用:
・三平方の定理: 問(2)では、具体的な辺の長さが与えられ、三平方の定理を何度も利用して辺の長さや対角線の長さを求める必要がある。これは、図形を直角三角形に分割し、正確に計算する能力を測るものである。
・平方根の計算: 辺の長さが平方根で与えられているため、平方根の計算を正確に行う能力も不可欠である。
３．作図能力と空間把握:
・作図: 問(2)④は、定規とコンパスを用いて作図を行う問題である。これは、数学的な知識を具体的な操作に落とし込むことができるか、つまり与えられた条件（辺の長さや平行、二等辺三角形の性質）を作図の手順に変換する思考力を問うものである。
これらの問題は、図形の性質を正確に把握する幾何学的な思考力と、それを具体的な数値に落とし込む代数的な計算能力、そして実際に図形を構成する作図能力という、数学の複数の分野にわたる総合的な力を試すものである。
※上記出題意図に基づき以下の類似問題に挑戦しよう。
【類似問題】
類題
右図のように、ＡＣ、ＢＣを直径とする2つの半円があり、大きい半円の弦ＡＱが点Ｐで小さい半円に接している。∠ＡＰＣ=120°、小さい半円の半径を6㎝として、次の問に答えなさい。 
(１)∠ＰＡＣの大きさを求めよ。
(解答)30°
(２)大きい半円の半径を求めよ。
(解答)9㎝
【大問５】データ活用(確率)に関する問題
- 時間配分：11分
攻略のポイント
例年と比較してもレベル的には大差がない。昨年同様、難問・奇問の類は出題されてはいない。全体的には標準的問題である。初見の問題の類も少ない。合格答案を作成するために求められる力は「計算力」と「着眼力」である。特に、「着眼点」は重要であり、それを自分のものとするために基本から標準レベルの問題演習を通じて、最後まで考え抜く習慣をしっかり身につけて欲しい。また、「着眼力」とは、問題を解くうえでの見通し、方針の立て方である。問題を見た瞬間に、正解を導くための道筋が見えてこなければならない。この方針の立て方を見誤ることに起因する時間的ロスは、本番入試では挽回不能になる。その「着眼点」を養うためには、「良問を大量に解く」ということに尽きる。また、作図が例年出題されているので、事前にしっかり準備を行なう必要がある。