３問とも標準問題である。完答したい。

(１)式の値＜2分＞。与式を因数分解すると、４(a²＋b²−c²)( a²−b²＋c²)となる。この式にa＝√41、b＝√2021、c＝2√498を代入する。

(２)式の値＜3分＞。ｘ−2ｙ−z＝０と2x＋y＋z＝０の辺々を加えると、y＝3xとなる。これを2x＋y＋z＝０に代入してz＝−5xを求め与式に代入し式の値を求める。

(３)2次方程式＜3分＞。与えられた2次方程式より解の公式により解を求める。解が整数となるためには√9+aが整数となるときであるので、√の中を条件整理する。

サイコロを投げて出た目によって、円周を六等分する点を移動する場合にできる三角形に関する確率の問題である。与えられた条件を理解し、移動する点Pがどのような動きをするかを正確に把握すること。

 (１)正三角形になる確率を求める問題＜3分＞。2回サイコロを投げると目の出方は全部で36通り。正三角形ができるのは一つ置きに点Pが移動したときである。

 (２)直角三角形になる確率を求める問題＜3分＞。円に内接する三角形が直角三角形になるということは、斜辺を円の直径とし90°はその直径(180°)に対する円周角として考える。

 (３)30°の内角をもつ三角形となる確率を求める問題＜3分＞。内角として30°をもつということは、この30°が円周角となっていることであり、六等分した一つの弧に対する円周角となっている。

 (４)条件にあるA、B、Cが三角形の3頂点となる確率を求める問題＜4分＞。点A の位置を決めると点B の位置の選び方は5通り、点A、Bの位置を決めると点Cの位置の選び方は4通りとなる。

この類の問題は頻出である。事前にあらゆるパターンの関数に関する演習問題を行っておくことが必要である。

 (１)交点の座標を求める問題＜2分＞。ｃ＝ をy＝−2x＋cに代入し、ｙ＝−x^２と連立方程式を解き点B のx座標を求める。

 (２)交点の座標を求める問題＜４分＞。点Aからy軸に垂線を引きできる直角三角形は△DOCと相似になることより、辺の長さの比に関する比例式を作り解法を積み上げてゆく。

 (３)座標・面積比を求める問題＜７分＞。△OCA、△OAD、△ODBにおいて、点A、点Bよりx軸に垂線を引き直角三角形を作り、さらに相似な三角形を探しだし対応する辺の比を求めてゆく。

正三角形であるということより内角は60°になるので、点PはCを中心としたときの円周上にあり、Bを中心としたときの円周上にある。

 （１）三角形の面積比を求める問題＜5分＞。与えられた平面図形の中に合同、相似の考えを当てはめ考えを進めること。

（２）点が描く図や長さを求める問題＜7分＞。点Pが△LMNの周上を動いて一周するときに、点Dは点Bを中心として動き、点Eは点Cを中心として動くのである。どのような動き方をするかはD、Eそれぞれ異なるのでしっかりイメージすること。

(１)面積を求める問題＜3分＞。△BCDが正三角形であるので、頂点Bから垂線を引くと左右に直角三角形ができる。この直角三角形において三平方の定理をあてはめる。　

(２)立体の体積を求める問題＜4分＞。立方体の体積から4つの頂点にある三角錐の体積を引くことにより本問の立体図形の体積が求めることができる。

(３)面積と体積を求める問題＜7分＞。図形の中に平行線と相似な三角形との関連性をあてはめられるように図形を十分注視する。対応する辺の比を求め問題を解くうえで必要な辺の長さを出す。少々複雑ではあるが、与えられた図形の中に平面図形の原理(平行線と直線で得られる辺の長さの比、合同、相似、三平方の定理など)が当てはめられる図形を見出すことができるかがポイントである。