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巣鴨高等学校 入試対策

出題傾向・攻略のための学習法・推奨テキスト

2020年度「巣鴨高等学校の数学」
攻略のための学習方法

単純な計算問題や教科書レベルの問題集の演習だけでは、巣鴨高校の問題には歯が立たないであろう。有理数(整数)と無理数がからんだ計算問題や等式の性質と有理数と無理数の等式が0(ゼロ)になるときの条件設定を使いこなすスキルを高める問題演習を行なうこと。

また、図形問題においても適切に補助線を引くことの練習も積んで欲しい。図形の中に、色々な形の図形が混在している場合に、どの図形に着目して考えを進めるかは極めて重要である。ここで方向性を見誤ると徐々に傷口が広がってゆき、取り返しのつかないことになってしまう。

したがって、平面図形(特に三角形)に関する問題では、折り返し、線対称・点対称、などの状況をしっかり把握することである。その上で、折り返しや対称移動でどのような事柄が言えるのかということをしっかり把握できるかどうかである。把握できるためにも原理を根本から理解することが大事。

数学は一生懸命勉強しているのに、試験の点数が伸びないのはどうしてだろう、と悩んでいる受験生も多いのではないかと思う。そのような受験生の大部分は、数学の解法を「目」だけで追いかけて「理解」した積りになっているケースが多い。

数学を上達させようと思ったならば、必ず「えんぴつ」を持って「紙」に自分の考え方を書き出し、解答に至るプロセスを自分なりに書き出してみることである。途中で矛盾が生じたり、結果が思ってもない数字になったり様々であろう。そのような試行錯誤を経て学力は着実に伸びる。数学的センス(正解を導くための見通しの良さ)も深まることは間違いない。えんぴつで自分の考えを紙の上に書き出してみて初めて、矛盾点や飛躍・論理破綻が見えてくる。難関校の数学の問題は概ねそのような勉強のやり方が効果的であろう。

そのような試行錯誤を繰り返す勉強方法は、人によっては遠回りのような、即効性のない学習方法に聞こえるかもしれない。しかし、目指しているのは「真の学力」である。そして、真の学力とは少々目先(数値であったり図形の向き)を変えられても、微動だにしない「骨太」の学力である。

この学力が身につき、確立されれば少々の問題は即座に解けるはずである。大事なのは、日頃から「自分の頭で考え」、「自分の手で書く」という作業を決して手を抜くことなく、ひた向きに努力し続けることができるかどうかである。

また、巣鴨高校のような上位校における数学の入試問題では、関数は外せないであろう。

放物線に直線が2点で交わっているという事実から、一体何が言えるのか。速攻で、連立方程式を考えその方程式が(   )=0とおけるか否かが、正解か否かを大きく分ける。

また、座標軸平面では、幾何の領域における問題を様々な形で出題可能である。

相似、合同、線分比や回転体の体積等は設問の条件次第で無限と言っていいほど問題は作問可能である。したがって、どのような条件の下で問題が出題されようが、問題の本質をしっかり読み取り、問われている事柄を理解し、あてはめる原理を特定し手際よく解答を導き出すのである。

場合の数・確率も最重要分野である。問題になると順列なのか組合せなのかを混同してしまう受験生も少なくない。コインを使った裏表に関する問題。サイコロを使った目の出方に関する問題等々。基本的な場合の数に関する問題演習はしっかり行い、与えられた条件が、「順列(役割や順番が決められている)」なのか「組合せ(役割・順番が未定である)」であるかをはっきりと間違えなく見極め、正解へたどり着ける学力が本番入試での「場合の数・確率」の完答へつながっていくのである。

2020年度「巣鴨高等学校の数学」の
攻略ポイント

2020年度

分野・単元 難度 時間配分 必答問題
【大問1】小問集合問題 標準 5分
【大問2】袋の中の球を取り出す確率の問題 標準 8分
【大問3】2次関数と1次関数の融合問題 標準 11分
【大問4】円(平面図形)に関する問題 標準 12分
【大問5】正八面体に関する空間図形の問題 標準 14分

特徴と時間配分

大問1は、小問集合問題である<5分>。因数分解、式の値、整数の性質から出題されている。

大問2は、袋に入った球を取り出す確率の問題である<8分>。内容としては頻出問題である。場合の数を求める際に、「もれ」や「だぶり」がないように注意すること。

大問3は、2次関数と1次関数の融合問題である<11分>。頻出問題である。しっかり事前の準備を行なって欲しい。

大問4は、円に関する平面図形の問題である<12分>。三平方の定理、相似の考え方を当てはめる。

大問5は、空間図形(正八面体)の問題である<14分>。平面図形に関する定理などをうまく適用できるかがポイント。しっかりしたイメージを持とう。

 

【大問1】小問集合問題

  • 難度:標準
  • 時間配分:5分

3問とも標準問題である。完答したい。

 (1)因数分解<1分>。x+y=Aと置き換えて、置き換えた式で因数分解し、最後に置き換えた文字を元に戻す。

 (2)式の値<2分>。与式を基本対称式の特性を生かして解く。

 (3)整数の性質問題<2分>。約数の和を求める考え方をマスターしておくこと。

【大問2】袋の中の球を取り出す確率の問題

  • 難度:標準
  • 時間配分:8分

カードを使用した確率の問題は、頻出なので事前にしっかり演習を重ねること。

(1)確率の問題<2分>。球の取り出し方は全部で、10×10×10=1000と通りである。a、b、cのすべての数字が異なる場合は、それぞれ1~10までの数字が書かれているので、10×9×8=720通りである。

(2)確率の問題<3分>。全ての場合が1000通り。a+b+c=10かつa≦b≦cである場合は、それほど多くはない。全部で8通りである。

(3)確率の問題<3分>。a、b、cの最大値が7となるのは、a、b、cが全部7以下になる場合から、a、b、cが全て6以下になる場合を除いた場合となる。

【大問3】2次関数と1次関数の融合問題

  • 難度:標準
  • 時間配分:11分

2次関数と1次関数の融合問題は、高校入試に必ず出題される。全国の上位校・難関校に出題された入試問題を40~50題は解いておきたい。特に、数量編に限定された設問だけではなく、平面座標上における図形や確率に繋がる問題に果敢に挑戦してほしい。

 (1)交点の座標を求める問題<2分>。y=xとy=x+2を連立してx、yについて解く。

 (2)切片を求める問題<4分>。y=-2 x+kは四角形ABCDの対角線の交点を通るのである。

 (3)比例定数及び切片を求める問題<5分>。Sのx座標を初めに求めること。平面座標上に、順次三角形や四角形の組み合わせで、平面図形の原理が適用できる部分を抽出すること。

【大問4】円(平面図形)に関する問題

  • 難度:標準
  • 時間配分:12分

特別な直角三角形の辺の比や相似の原理をあてはめること。

 (1)辺の長さを求める問題<3分>。円周角の定理を活用すること。

 (2)角度と辺の長さを求める問題<4分>。円周角の定理や、△EBDにおける内角と外角の関係を利用する。また、△ABCが正三角形である、という条件から導き出せる事柄を考える。

 (3)辺の長さを求める問題<5分>。三平方の定理を自在に活用できるように、与えられた図形の中から多種多様な図形を見つけ出すことができるように、自分の「眼」を鍛えておこう。

【大問5】正八面体に関する空間図形の問題

  • 難度:標準
  • 時間配分:14分

(1)体積を求める問題<4分>。正八面体(1辺が3)の体積を求める問題。一度は演習済みであろう。計算ミスのないように、落ち着いて計算すること。

(2)辺と頂点の数を求める問題<4分>。正八面体の辺と頂点の数を求める問題である。

(3)立体の体積を求める問題<6分>。正八面体の各頂点より正四角錐を切り取った立体の体積を求める。

攻略のポイント

数量編、図形編とも標準問題以上の演習をしっかり行うことが必要である。特に、数量編では、方程式や連立方程式、式の計算など基本的計算力は完璧に仕上げること。

 また、2次関数と1次関数の融合問題は、必ず出題されると認識し標準からハイレベルの問題をできるだけ多く演習して欲しい。その際に、座標軸上に平面図形の考え方(三平方の定理や円に関連する諸定理)を自在に当てはめられるようにしておくこと。

 図形編では、やはり空間図形に関する問題演習、特に、三平方の定理をどのような条件においても応用できるようにすることが大事である。

 確率の問題も重要である。色々な条件設定の確率問題に挑戦してみること。

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