早稲田大学本庄高等学院 入試対策
2025年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」
攻略のための学習方法
出題された問題を概観すると、難問の類はない。しかしながら、かなりの割合で複数分野の融合問題が目立つ。例えば、関数の問題に平面図形の原理を当てはめて解かせたり、場合の数の問題に方程式の概念を基本にしたりするような問題である。そのような問題に対する対策として、何を行えばよいのだろうか。
結論から言えば、中学数学の重要分野（式の計算、２次方程式（解の公式）、平方根、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（三平方の定理、相似・合同）、空間図形）についての徹底した学習を通した知識の習得と、各分野における原理・定理のさらなる深い理解と応用力である。そのような分野横断的な学習と解法の習得が、難易度の高い高校の数学における合格点を獲得するには不可欠な要素である。そのような前提に立って、受験数学の学習上で特に留意する学習事項について以下に見ていこう。
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①公式は何のために存在するのか
公式はとても便利で、問題を解く上で非常に有効であることは論を待たない。しかしながら、公式は問題を自分の頭で考え、正解へ向かう自分の思考を正確に導く最良な道具であろうが、一度立ち止まって考えて欲しい。どのようにして、「公式」は導かれてきたのであるかを。この公式を導く「プロセス」そのものが、受験生自身の「数学的思考力」を向上させるうえで必要不可欠なものであり、数学の問題を俯瞰的に見渡すことができる条件になるのである。
したがって、公式を何も考えずに「機械的」に使用するのではなく、初めて学習する公式に関しては一度自力で「なんでこのような公式の形になるのか」ということを解明することを勧める。その際には、言うまでもないが、実際に鉛筆をもって紙に自分の考えを書くという作業を怠ってはならない。
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②設問の本質的な部分に関するイメージを培おう
図形、特に空間図形に関する問題において必要なことは、与えられた問題の内容を如何に手際よく的確に「イメージ化できるか否か」である。図形の問題は、手を動かさないでジッと図形（空間図形）を見つめていても、解法への適正な解法は浮かんでこないのである。そこに「イメージ化」する必要性があり、その根底には「イメージ力」があるのである。
それでは、イメージ力とは何か。
一言でいうならば「豊かな発想力」である。このような「発想力」を豊かにするために、受験生にとって行わなければならない必須事項は、様々な問題を「自分の頭で最後まで考え抜く」ことである。そのような過程の中で、受験生は色々と頭の中で蓄えている「原理・定理」を持ち出し、あてはめようとするのであり、そのような「あてはめ作業」が豊かな発想を生み出す土壌になるのである。
大切なことは、安易に解答・解説に頼らず自力で自分の解答（不正解でも構わない）を導き出すことなのである。
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2025年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜8分＞。
因数分解、等式変形、平面図形(面積)、数の性質からの出題である。
【大問２】さいころを用いた確率問題＜9分＞。
さいころを3回投げて出た目を座標平面上におき、かつy=x2の3点との関係性に基づく確率の問題である。
【大問３】関数(1次関数と2次関数融合)問題＜13分＞。
何度も演習済みであろう1次関数と2次関数の融合問題。ただし、2つの2次関数に関する比例定数が異なることとそれぞれのｘの変域が違うという点に注意すること。
【大問４】空間図形(球と立方体)問題＜20分＞。
立方体のすべての面に接する球が立方体の内部にあるときの辺の長さや球の切り口の面積を求める問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：8分
問１．2次式を2つ含む因数分解に関する問題＜2分＞。
複数の文字を含む多項式の因数分解の能力を問う問題である。特定の文字（この場合はx）について式を整理し、その後にたすき掛けなどの手法を適用できるかがポイントとなる。なお、たすき掛けによる因数分解の手法は、高校入学後もあらゆる数学の分野の解法に必要になってくるのでしっかりマスターすること。
問２．式の計算(無理方程式)に関する問題＜2分＞。
無理方程式の解法、特に根号を消去するために式を整理してから平方する能力を問う問題。また、いかにして根号を消去するかがポイントであり、原則的には平方根をどちらかの辺に移項してまとめる。
問３．平面図形(面積)に関する問題＜2分＞。
図形の性質を正確に把握し、面積を求めるための幾何学的思考力を問う問題。正三角形や円の性質、合同・相似な三角形の発見、そして扇形や三角形の面積を組み合わせる能力が試されている。直観的な図形を見抜く力も必要であるが、与えられた条件(平面図形や各図形の特性)を丁寧にかつ迅速に処理する能力を鍛えよう。
問４．数の性質に関する問題＜2分＞。
連立方程式を解く能力を、特に整数という条件を利用して解くことを求めている問題。共通の項である(m+n)に着目し、その値が2つの定数の公約数であることを利用して候補を絞り込む思考力が重要である。
※類題に挑戦しよう！
問１．9a2+4b2−25c2+12ab+30c−9 を因数分解せよ。
(解答) (3a+2b+5c−3)( 3a+2b+5c+3)
問2．√(x+1)−√x=1を解け。
(解答) ｘ＝０
問3．右図のような1辺の長さが2の正方形と半径2、中心角90°の扇形が重なっている。影の部分の面積を求めよ。
(解答) 
問４．以下の2つの等式を同時に満たす整数の組(x、 y)をすべて求めよ。
(x−2y+1)(x+y)=−18 、(x+y−5)(x+y)=−6
(解答) x=−2、 y＝4
【大問２】さいころに関した確率の問題
- 時間配分：9分
≪設問で与えられた条件≫
1つのさいころを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。Oを原点とする座標平面上において、関数y=x2のグラフ上にx座標がそれぞれa、−b、−cである3点A、B、Cをとる。
問１．平行となる確率を求める問題＜3分＞。
座標平面上の点の座標を文字で正しく表現し、2つの直線が平行になる条件（傾きが等しい）を正確に用いる能力を問う問題。また、さいころの目の組み合わせをすべて数え上げられるかもポイントとなる。
問２．面積が条件を満たす確率を求める問題＜3分＞。
設問1の結果を利用し、四角形の面積を正確に計算する能力を問う問題。四角形OACBは台形であり、面積を計算するためには、上底と下底、高さを定義する必要があるが、座標幾何学における図形の特性を生かして求める面積の図形を適切に分割して求積できるかどうかが重要である。
問３．交点座標の和が整数となる確率を求める問題＜3分＞。
2つの直線の交点を求める座標幾何学の計算能力を問う問題。計算が複雑になりがちなので、正確かつ効率的に計算できるかがポイントになる。また、交点の座標が整数になる条件を、さいころの目の組み合わせから見つける必要がある。
※類題に挑戦しよう！
問１．大中小3個のさいころを投げる。投げたさいころのうち、目の数が最も小さいさいころは全て取り除き、また、投げたさいころの目がすべて同じときは、サイコロを取り除かないものとする。この作業をさいころが1個になるまで繰り返す。次の確率を求めなさい。
(１)さいころを1回投げて、さいころが3個から1個になる確率
(２)さいころを1回投げて、さいころが3個から2個になる確率
(３)さいころを2回投げて、さいころが1個となる確率
(解答) (１) 
(２) 
(３) 
問2．1つのさいころを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。Oを原点とする座標平面上において、関数y=x2のグラフ上にx座標がそれぞれa、2b、3cである3点A、B、Cをとる。直線OBと直線ACが平行になる確率を求めよ。
(解答) 
【大問３】関数(1次関数・2次関数融合問題)に関する問題
- 時間配分：13分
問1．交点の座標を求める問題＜2分＞
、
とy=−x2をそれぞれ連立して解き、それぞれのｘの変域に合致する交点の座標を求める。変域によって関数が異なるグラフと直線との交点を求める能力を問う問題。
単一の関数ではなく、2つの関数を場合分けして考える必要があり、かつそれぞれの変域内で連立方程式を解き、求めたx座標がその変域内に合致しているかを確認する手法が重要である。
問２．切片の値を求める問題＜5分＞。
直線と2つの異なる関数のグラフとの交点を代数的に処理する能力を問う問題。交点のx座標を文字で設定し、与えられた条件（Rのx座標がQのｘ座標の−2倍）を方程式に組み込んで解く必要がある。方程式の解と変域の関係性を正確に理解しているかが重要となる。上記条件より、Q、Rのx座標の符号は異符号であることが分かる。したがって、P及びQのx座標は負、Rのx座標は正となる。
問３．x座標を求める問題＜6分＞。
与えられた複数の条件を組み合わせて曲線Cと未知なる直線がＰ、Ｑ、Ｒが交わっている(Ｐのｘ座標＜Ｑのｘ座標＜Ｒのｘ座標)ときの条件(Ｐのｘ座標＝Ｑのｘ座標×２、Ｑのｘ座標−Ｐのｘ座標＝3√6)をいかに座標平面上において、平面図形における原理(相似、辺の比)を適切にあてはめることができるかがポイントである。
ＱとＲのｘ座標、ｙ座標の設定を考え、かつＰ、Ｑ、Ｒが一直線上にあることより、ＰＱの傾き＝ＱＲの傾きから2次方程式を立式し解を求める。その際、解は2つ求められるので、どちらの解が適切かを正確に検証しなければならないことに注意すること。
【大問４】空間図形(球と立方体)に関する問題
- 時間配分：20分
(２) ＡＢ＝4 (３) 
攻略のポイント
分野的には、因数分解、関数（1次関数と2次関数）、平面図形、空間図形(面積、体積)、確率などは事前の準備をしっかり行うことである。
入試問題を見た受験生は気が付いているだろうが、単純な一分野からの出題ではない問題が散見される。いわゆる複数の分野の考え方を使って解く問題である。関数における座標平面における点の移動(さいころを投げて出た目で移動条件が指定されている)に関連して特定の場合になる確率を求める問題などである。そのような問題は、受験生の真の「数学的発想力」を確認することが主目的であるため、今後、出題頻度は高まることが十分予想される。
したがって、合格点を得るためには、単純な一分野のみの学習ではなく、他の分野との融合問題、つまり一つの問題を解く場合に複数の解法をしっかり習得しておくことが必須項目である。