明治大学付属明治高等学校 入試対策
2022年度「明治大学付属明治高等学校の数学」
攻略のための学習方法
全体的には標準問題である。ただし、【大問２】以降のすべての問題が記述式であることについて、十分な事前準備が必要である。以下に、合否を分ける分野である、関数（放物線と直線の融合問題）、平面図形、空間図形、記述式答案作成上の注意点について、それぞれ確認してゆきたい。
①関数（放物線と直線）について
関数に関して、高校入試においては必須分野である。特に、２次関数である放物線と１次関数である直線との融合問題は、様々な問題形式に十分慣れておく必要がある。放物線と直線の交点の座標の求め方、指定された図形の求積（この場合は等積変形の考え方を用いる）などの設問である。その際に、平面図形における相似や合同の考え方をしっかり適用できるようにしなければならない。
②平面図形
平面図形においては、様々な定理を確実に覚えておくこと。三平方の定理、頂点の角の２等分線に関する特殊定理、中点連結定理などは必須知識である。さらに、平面図形に関する入試問題を解く場合に使用する考え方は、相似、合同などに関する考え方や視点がとても重要である。また、補助線を的確に引けるかどうかがポイントとなる。この補助線を引くという作業ができないと、問題を何時間見つめても的確な解法への糸口は見出せないであろう。必要なのは、柔軟な発想と図形をあらゆる方向から見ることができるイマジネーションであり、その中から解法にとって重要な図形を見出すことができるか否かである。また、平面図形の求積問題も頻出であるので、上記のような原理の他に等積変形の考え方もしっかり対応しておくように。
③空間図形
空間図形（３次元）も、いかにして与えられた図形を自分が一番解きやすい次元に落とし込むか（３次元⇒２次元）の手際の良さが合格答案を作成できるか否かを左右する。３次元の空間図形の次元を落とすということは、空間を平面に置き換えるということである。平面は２次元である。つまり、与えられた立体を３方向（正面、真上、真横）から見た像を頭の中で一つの立体として組み立てることが重要である。その際、図形の特性を十分に活かし、立体図形の中に平面図形の幾何学的定理（三平方の定理、相似など）を迅速かつ的確に持ち込めるかである。
④記述式答案作成上の注意点
明大明治高校の数学の解答は、大問２以降は全て記述である。解答用紙の紙面の都合もあり、受験生にとってはどの程度の記述内容にするかが重要である。基本的には、初めに解法に際して一番初めの式を書く。その後は、逐一式の展開等を書くのではなく、思考の経過が判明するための必要最小限度の記述内容にすること。記述解答の重要なことは、いかにして答案の内容を端的に採点者に伝え切るかということである。そのためにも、試験本番だけではなく事前の準備として、より効率的で分かり易い記述答案作りを自身が研究しなければならない。避けたいことは、何でも詳細に答案を書こうとして、細かな点まで書いてしまうことである。採点者側の視点は、受験生が問題を解く上でどのような考え方に基づき、式を立てたかなのである。答えだけがあっていればよい、という発想から脱却し、他人（採点者）を説得できるだけの過不足のない効率的な答案作成を目指して欲しい。
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2022年度「明治大学付属明治高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜10分＞。
因数分解、数の性質、平面図形(辺の長さの比)、関数(直線の式)、場合の数(確率)からの出題。
大問2は、2次方程式の応用問題(解の利用)＜8分＞。
本問以降は解答に関して記述式問題である。コンパクトに答案をまとめること。
大問3は、平面図形(半円)に関する問題＜9分＞。
相似、三平方の定理をあてはめて考える問題である。
大問４は、関数(1次関数・2次関数)に関する問題＜10分＞。
直線の式を求める手法やxy座標平面における三角形の面積を求める方法を確実に覚えること。
大問５は、空間図形(立方体)に関する問題＜13分＞。
立方体の切断面に三平方の定理や相似の考え方を適用するアプローチをしっかり確認しておくこと。
【大問１】小問集合
- 時間配分：10分
本問だけが答えだけを解答すればよい。
（１）因数分解問題。＜1分＞
a2−7a=Aとおいて式を変形する。
（２）数の性質問題。＜2分＞
3n-1≦√x≦3nより、各辺を2乗して(3n-1)2≦x≦(3n)2。
よって、xは９n2−6n＋1以上９n２以下の自然数であり、これが2022個あるという問題である。
（３）平面図形(長さの比)の問題。＜3分＞
△ＡＢＣは正三角形であるので、△ＡＢＤの辺の比は１：２：√3となる直角三角形である。さらに、同様の辺の比を持つ三角形を探し出し、ＥＦ∥ＢＤよりＡＦ＝3ＦＤとなる。さらに、ＡＧ：ＧＥ＝ＡＦ：ＦＤ＝３：１となるので、ＡＨ：ＨＦ＝ＡＧ：ＧＥ＝３：１となる。これらのことを総合して考える。
（４）関数(直線の式)の問題。＜2分＞
Ａ(−2, 5)、Ｂ(−5, 2)、Ｃ(−3, −1)、Ｄ(1，−1)、Ｅ(4, 3)を結ぶ五角形の面積を2等分する直線の式を求める問題である。ＣＤ∥x軸を手掛かりに考えをすすめる。
（５）場合の数(確率)の問題。＜2分＞
正方形上に等間隔に点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを置き、この8点から3点を選び三角形を考えるとき、三角形は全部何個できるかを求める問題、また二等辺三角形のできる確率を求める問題である。
【大問２】２次方程式の応用問題
- 時間配分：8分
本問以降の全ての問題については、その考え方について解答用紙に記述しなければならない。
（１）pの値を求める問題。＜3分＞
2つの異なる2次方程式の解がx=pを共通解として持つ場合に、pを求める問題で
ある。2つの方程式にx＝pを代入した2つの方程式を連立して考える。
（２）ｑの値を求める問題。＜5分＞
2つの異なる2次方程式において、1つの方程式の解はx＝p、qで、もう一つの方程式の解がx＝p、rのときにqを求める。(１)よりp＝２と判明しているので、これを手掛かりに考えを進める。
【大問３】 平面図形（三角形）に関する問題
- 時間配分：9分
（１） 辺の長さを求める問題。＜2分＞
直径に対する円周角は90°であること、また円の半径と接線は直交することを利用し、∠AＲＢ＝∠ＤＰＢ＝90°となる。また、共通角より∠ＡＢＲ＝∠ＤＢＰであるので△ＡＢＲ∽△ＤＢＰとなる。さらに、△ＡＢＲにおいて三平方の定理をあてはめる。
（２） 辺の長さの比を求める問題。＜3分＞
∠AＲＢ＝∠ＤＰＢ＝90°であるので、ＡＲ∥ＤＰであり、ＲＰ：ＰＢ＝ＡＤ：ＤＢ＝１：３となる。△ＰＲＡにおいて三平方の定理をあてはめよう。
（３） 面積を求める問題。＜4分＞
∠RＰＱ＝∠ＡＰＢ(対頂角)、円周角の定義より∠ＲＱＰ＝∠ＡＢＰとなることより△ＲＱＰ∽△ＡＢＰ(2角相等)が分かることより、RQの長さが求められる。また、△ＣＱＲはＣＱ＝ＣＲの二等辺三角形であるので、ＣからＲＱに垂線ＣＨを引くとＨはＲＱの中点となるのでＲＨ：ＨＱ＝１：１となる。ここで△ＲＣＨにおいて三平方の定理を用いてＣＨの長さを求め△ＣＱＲの面積を出す。
【大問４】 関数（１次・２次）に関する問題
- 時間配分：10分
(１)ｘ座標を求める問題。＜2分＞
Ｃのｘ座標を求める問題である。ｙ＝
ｘ2のＡとＣのｘ座標が同じであることが手掛かりである。Ａからｙ軸に平行な直線とＢからｘ軸に平行な直線の交点をＤとすると、△ＢＤＡは三辺比が１：２：√3となる直角三角形である。また、Ａ、Ｂの座標はそれぞれ−ｔ、２ｔでるのでＡＤ及びＢＤの長さをｔで表し、かつＡＤ：ＢＤ＝１：√3を利用しての値を求める。
(２)比例定数を求める問題。＜4分＞
(１)よりｔ＝√3であるので、△ＡＢＣの面積が求められ最終的にＡＣ＝3となる。さらに、Ａ、Ｃの座標が判明し、Ｃはｙ＝
上にあるのでCのx座標、y座標の値を代入しaの値を求める。
(３)面積を２：１に分ける直線の式を求める問題＜4分＞。
(１)、(２)よりB(2√3 、4)、C(−√3、−2)が求められたので、ＢＣの直線の傾きが判明し直線ＢＣの式を求めるとＢＣは原点Ｏを通る(ｙ軸切片が０)ことが分かる。原点Ｏを通る直線で△ＡＢＣの面積を２：１に分けるとき、小さい方の面積は×△ＡＢＣである。この小さい三角形は△ＯＡＣと同じ面積となるので、ＯＡが求める直線の一つである。さらにあと一つ求める直線がある。
【大問５】空間図形（正四面体）に関する問題
- 時間配分：13分
(１)辺の長さを求める問題。＜3分＞
正四面体の面ＯＡＢ、面OＢＣの展開図を考える。条件よりその展開図は平行四辺形になることを利用し、MCとOBの交点がPとなっている。また、AOの延長にCより垂線CHを引くと△ＣＯＨは三辺比が１：２：√3となる直角三角形である。さらに、△ＣＨＭにおいて三平方の定理をあてはめてＭＣの長さを求める。
(２)三角形の面積を求める問題。＜4分＞
(１)で考えた展開図において∠ＭＯＰ＝∠ＣＢＰ＝60°、また∠ＯＰＭ＝∠ＢＰＣなので△ＯＭＰ∽△ＢＣＰ(2角相等)となる。また、△ＯＡＣは正三角形でありＭはＯＡの中点であるので、△ＯＭＣは三辺比が１：２：√3となる直角三角形である。よって、ＣＭの長さが求められる。また、ＰよりＣＭに垂線ＰＩを引き△ＰＩＭ、△ＰＩＣに三平方の定理をあてはめ、ＭＩ＝ｘとしてｘに関する2次方程式を立式しｘを求めるとPＩの長さが判明する。△ＭＰＣ＝ＣＭ×ＰＩ×
であることより△ＭＰＣの面積が求めることができる。
(３)内接球の半径を求める問題。＜6分＞
条件で切断した立体の体積の小さい立体は四面体ＯＭＰＣである。まずは四面体ＯＭＰＣの体積を求める。次に、四面体ＯＭＣＰに内接する球の半径をｒとすると、四面体ＯＭＰＣの体積は、△ＯＭＣ、△OMP、△OPC、△MPCを底面とし高さをｒとする4つの三角錐の体積の合計であることよりｒが求められる。この考え方は、入試において様々な場面で応用可能であるのでしっかりマスターしよう。
攻略のポイント
全体的には難問の類は出題されていない。一度は演習した経験のある問題ばかりである。平面図形に関する問題は、受験生間に出来具合の差が生じやすい分野なので、しっかり事前準備をすること。平面図形に補助線を引くことが重要である。どこに補助線を引くかも含めて、幾何の問題に関しては解説を目で見ただけの確認ではなく、実際に鉛筆を持って紙に解法を書くことが重要である。そのことにより、明大明治高校の記述式問題への十分な対応力を養成できるのである。