早稲田実業学校高等部 入試対策
2023年度「早稲田実業学校高等部の数学」
攻略のための学習方法
上位校である難関校の数学の問題において、合格点を勝ち取るための学習法を一緒に考えてみたい。
難関校の数学の問題を攻略するためには、単純な問題演習を繰り返すだけでは十分ではない。なぜならば、単純な問題演習は「機械的スキル」であり、その解法プロセスに一切の数学的発想が反映さないばかりか、受験生本人がどれほどの柔軟な数学的発想が可能であるのかが判明しないのである。それでは、「柔軟な数学的発想」とは何か。一言でいえば、それは「原理・原則をいかに柔軟にかつ適切に問題に当てはめることができる発想」である。単に問題を解いて正解を導くというだけでは、難関校の数学における合格答案作成は困難である。なぜならば、単純なスキル演習は難関校の受験生にとっては、「正解を得ること」が当然であるから、そのような問題では受験生間の「差」がつかないのである。
それでは、受験生間に差が出る本当の学力とは何か。それは、自分の頭で最後まで問題を考えぬことができる「力」のことであり、この「力」は問題の本質を見抜き、どの数学的原理（公式）をあてはめるかを瞬時に見抜くことができる「力」である。それでは、そのような力を身に付けるには、どのような学習を日頃から心掛けなければならないのだろうか。以下に何点か列挙してみたい。
① 公式を自分で導こう
公式は、具体的な事象の中から普遍的な原理を導き出し、それを道具として使いこなして問題を解いているのである。したがって、上位校である難関校における数学の問題を攻略するためには、数学的高度な思考力を求められるのである。この思考力とは、公式を導き出す際に適用する発想である。受験生の皆さんには、是非とも自力で公式を導き出して欲しいと思う。そのような作業の中で、様々な数学的発想が入試問題を解法するうえで生かされてくるのである。初めは、時間がかかり、最終的な方向性も見出されないまま「袋小路」にさまようかも知れないが、そのような試行錯誤こそが真の学力を鍛えるうえでは不可欠な要素であることを忘れないで欲しい。
② 図形（平面図形・立体図形）などにおけるイメージを培おう
関数などの数量辺の問題と異なり、平面図形や立体図形の問題における解法のポイントは「イメージ作り」である。また、図形の問題にとって重要な手法は「補助線」を活用することである。ただし、どこに適正に補助線を引くかが正解を導く上での分かれ道である。また、図形の問題においては「定理・原理」をしっかりあてはめられなければならない。例えば、三平方の定理の活用のスキルを知らなければ、何時間もその問題と「にらめっこ」をしていても問題の解法へは辿り着けない。したがって、図形問題（幾何）においては、様々な定理をしっかり覚えることであり、その定理がどの様な条件のもとで成立し得るのかを理解し、入試問題にどのように当てはめられるのかを徹底して研究することである。
以上、高度な数学の問題を攻略するための最低限の方法を列挙したが、大切なことは安易に解答・解説を見ずに、どんなに苦しくとも「自分の頭で考え抜くこと」が極めて重要である。
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2023年度「早稲田実業学校高等部の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜7分＞
式の計算、データ活用、連立方程式、数の性質に関す問題。
【大問２】独立小問問題＜11分＞
さいころを用いた確率、作図に関する問題。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題＜13分＞
点の座標を求める問題、相似証明・面積・比例定数を求める問題。
【大問４】空間図形(正四面体と)に関する問題＜14分＞
辺の長さを三平方の定理や平面図形における定理を活用する。
【大問５】新傾向問題に関する問題＜15分＞
座標平面上を移動する点に関する問題。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：7分
（１）式の計算(因数分解)に関する問題＜1分＞
与式をまとめると(a+1)(a－1)+ｘ(a－1)2となり、a－1＝Ａとおいて因数分解したうえでＡをもとに戻す。
（２）データの活用に関する問題＜2分＞
データに関する中央値などの定義をしっかり理解することが重要である。
（３）連立方程式の応用に関する問題＜2分＞
食塩水の濃度に関する連立方程式の問題である。本問の内容を正確に把握するために、ビーカー図などを描いて問題のイメージ化を図る。
（４）数の性質に関する問題＜2分＞
2023＝7×172であるので、(a－b)(a2＋b2)＝7×172となる。ａ、ｂは共に正の整数であることから条件整理を的確に行う。
【大問２】独立小問問題
- 時間配分：11分
（１）確率(さいころ)を求める問題＜6分＞
①2つのさいころを投げたときの目の出方は6×6＝36通り。∠ＰＡＱ＝90°になるのは、ＰＱが円の直径になるときである。
②∠ＰＡＱ＜70°になるとき、円の中心をＯとすると∠ＰＯＱは∠ＰＡＱに対する中心角になる。円周角と中心角の関係をあてはめて考える。
（２）平面図形(作図)に関する問題＜5分＞
求める円の中心をＰとすると、ＰはＯＢの延長線上(この直線をｍとする)にある。ＯＰに対してＢで直交する直線を引き、ℓとの交点をＤとする。ＤＢ＝ＤＣとなるＣをＡと反対側にとる。∠ＢＤＣの2等分線とｍの交点がＰである。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：13分
（１）座標、証明に関する問題＜5分＞
にありｙ＝2ｘの交点であることよりＡ１の座標は(6、12)となる。同様にＡ2(－2、－4)、Ｂ１(－3、3)、Ｂ２(1、－1)となる。Ａ１、Ａ２からｘ軸に垂線Ａ１Ｈ１、Ａ２Ｈ２を引くと、△Ａ１ＯＨ１∽△Ａ２ＯＨ２となる。また、Ｂ１、Ｂ２からｘ軸に垂線Ｂ１Ｉ１、Ｂ２Ｉ２を引くと、△Ｂ１ＯＩ１∽△Ｂ２ＯＩ２となる。
（２）面積を求める問題＜3分＞
Ａ１Ｂ１とｙ軸の交点をＪとするとＪ(0、6)であり、かつ直線Ａ１Ｂ１の傾きは1である。ＯＪを底辺とすると、△ＯＡ１Ｊの高さ＝6、△ＯＢ１Ｊの高さ＝3となることより△ＯＡ１Ｂ１＝27である。また、△ＯＡ２Ｂ1＝9、△ＯＡ１Ｂ２＝9、△ＯＡ２Ｂ２＝3である。
（３）比例定数を求める問題＜5分＞
△ＯＡ３Ｂ３＝四角形Ａ１Ｂ１Ａ２Ｂ２＝48。Ａ３は、ｙ＝ａx２とｙ＝2ｘの交点であるので
△ＯＢ１Ｉ１∽△ＯＢ３Ｉ３、△ＯＡ１Ｂ１∽△ＯＡ３Ｂ３であり、△ＯＡ１Ｂ１と△ＯＡ３Ｂ３の相似比は３：４である。
【大問４】空間図形(正四面体と球)に関する問題
- 時間配分：14分
（１）辺の長さを求める問題＜4分＞
ＡＢＣＤは正四面体である。ＢＨ＝ＣＨ＝ＤＨより、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢであるので△ＨＢＣ、△ＨＣＤ、△ＨＤＣは合同な二等辺三角形となる。ＨからＢＣに垂線ＨＩを引くと△ＨＢＩは3辺の比が
の直角三角形となり、さらに△ＡＢＨに対し三平方の定理をあてはめる。
（２）辺の長さを求める問題＜4分＞
ＯとＰを結び、ＯからＡＰに垂線ＯＪを引く。△ＯＡＰはＯＡ＝ＯＰの二等辺三角形であるので、ＪはＡＰの中点である。したがって、△ＡＯＪ∽△ＡＢＨであるので、ＡＪ：ＡＨ＝ＡＯ：ＡＢのことよりＡＰの長さを求める。
（３）辺の長さを求める問題＜6分＞
ＡＱ＝ＡＲ＝２である。∠ＱＡＲ＝60°であるので、△ＡＱＲは1辺＝2㎝の正三角形である。また、ＳＡ＝ＳＱ＝ＳＲ、ＡＱ＝ＱＲであるので、△SAQ、△SQR、△SARは合同な二等辺三角形になる。
【大問５】新傾向(座標軸平面上を移動する点)に関する問題
- 時間配分：15分
（１）移動時間を求める問題＜4分＞
Ｐ(ａ、ｂ)とすると移動先の
△ＡＥＤにおいて三平方の定理より、
であることより移動時間を求める。
（２）座標を求める問題＜4分＞
ＰをＢ(ｍ、ｎ)におくとＰの移動先は
Ｐは移動せずにBにとどまり続けたので移動先の点はBと同じであるので、
アとイを連立してｍ、ｎを求める。
（３）体積を求める問題＜7分＞
①ＰをＣ(１、１)とおくと最初の移動先は(１、２)である。移動する点は順番に(1、1)、(1、2)、(2、3)、(3、2)、(2、1)となり、それぞれＣ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉとする。また、それぞれの2点を結ぶと傾き１または－１の直線となる。
②
また、ＣＦＧＨＩの五角形の周の長さは
Ｐが5回目にＣに戻る場合を考えるとＰが動いた距離は
となる。さらに、
と近似値であることより、
秒後のＰは5回目にCに戻る前後であることが分かる。
攻略ポイント
分野的には、計算（因数分解、方程式、式の値）、関数（１次関数、２次関数）、確率、平面図形、立体図形といった分野について、しっかり練習をしておく必要がある。さらに、これらの分野の単純な演習スキルだけではなく、根本的な理解（原理的理解）に基づくより本質的な数学的発想をベースに問題へのアプローチができるような訓練が必要である。そのための一つの対策としては、「公式の原理的理解」という方法がある。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が導かれるまでの解法のプロセスをしっかり把握し、自身で公式を導き出せるようにすることである。また、今後出題される可能性が高いと思われる資料の整理（統計学の基礎）も手を抜くことなく、用語の定義の理解も含めて演習を重ねて欲しい。